主题
Search

调和参数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

多面体的调和参数是从固定内部点到各个面的距离 d_i 的加权平均值，其中权重是各个面的面积 A_i，即：

h=(sum_(i=1)^(n)A_id_i)/(sum_(i=1)^(n)A_i).
(1)

此参数推广了以下恒等式

(dV)/(dr)=S,
(2)

其中 V 是体积，r 是内半径，S 是表面积，这仅对对称实体有效，推广到

(dV)/(dh)=S.
(3)

调和参数与内部点的选择无关 (Fjelstad 和 Ginchev 2003)。此外，它不仅可以为多面体定义，还可以为任何具有 n 维实体定义，这些实体具有 n 维内容 V 和 (n-1) 维内容 S。

用 h 表示薄片的面积 A 和周长 p，得到以下恒等式

(dA)/(dh)=p.
(4)

下表总结了一些常见薄片的调和参数。其中，r 是给定薄片的内半径，a 和 b 是矩形的边长。

薄片h
圆r
矩形(ab)/(a+b)
正方形r
三角形r

然后用 h 表示实体的 V 和 S，得到以下恒等式

h=(3V)/S.
(5)

下表总结了一些常见固体的调和参数，其中一些更复杂的值由多项式根给出

h_1=(256x^8-64512x^7-4257024x^6+34098944x^5+167319904x^4-806004288x^3-327993296x^2+816428176x+373301041)_6 h_2=(31622400x^8-6045062400x^7+65176660800x^6-187266038400x^5+85961856960x^4+136958389920x^3+42447187200x^2+5102095680x+214358881)_5 h_3=(3603193611264x^(12)-38078720649216x^(10)+49184509540608x^8-3562375387968x^6+308526620112x^4-3065029992x^2+38950081)_3
(6)

h_4 是高阶多项式的根，以及

h_5=1/(1202)[1/(10)(121461425+53168861sqrt(5)-4sqrt(30(28343974350325+12675597513679sqrt(5)))]^(1/2).
(7)
固体h
圆锥(hr)/(sqrt(h^2+r^2))
立方体1/2
cuboctahedron5/2sqrt(1/3(2-sqrt(3)))
长方体(3abc)/(2(ab+ac+bc))
十二面体1/2sqrt(1/(10)(25+11sqrt(5)))
great rhombicosidodecahedronh_1
great rhombicuboctahedron1/2(4+3sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(6))
二十面体1/2sqrt(1/6(7+3sqrt(5)))
icosidodecahedron1/4sqrt(1/(15)(895+351sqrt(5)-sqrt(722550+319170sqrt(5))))
八面体1/6sqrt(6)
small rhombicosidodecahedronh_2
small rhombicuboctahedron1/(78)(54+45sqrt(2)-sqrt(6(43+30sqrt(2))))
扭棱立方体h_3
扭棱十二面体h_4
球体r
四面体1/(12)sqrt(6)
截角立方体7/(438)(30+42sqrt(2)-sqrt(3(89-36sqrt(2))))
截角十二面体1/(1202)sqrt(1/6(34843243+14808969sqrt(5)-4sqrt(6(39083776745+368687263429sqrt(5)))))
截角二十面体h_5
截角八面体4/(11)sqrt(2(13-4sqrt(3)))
截角四面体(23)/(84)sqrt(6)

另请参阅

表面积, 体积

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Fjelstad, P. 和 Ginchev, I. "Volume, Surface Area, and the Harmonic Mean." Math. Mag. 76, 126-129, 2003.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

调和参数

请引用为

Weisstein, Eric W. "调和参数." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HarmonicParameter.html

主题分类