不可约表示

一个群的不可约表示是一个没有非平凡不变子空间的群表示。例如，正交群 在 上有一个不可约表示。

有限群或半单李群的任何表示都可以分解为不可约表示的直和。但一般来说，情况并非如此，例如， 在 上有一个表示，通过

(1)

即，。但子空间 是固定的，因此 不是不可约的，但没有互补的不变子空间。

不可约表示有许多显著的性质，正如在群正交性定理中形式化的一样。设一个群的群阶为 ，并且第 个表示的维度（每个组成矩阵的阶数）为 （一个正整数）。设任何操作表示为 ，并且设矩阵 在第 个不可约表示中对应的矩阵的第 行和第 列为 。以下性质可以从群正交性定理中推导出来：

(2)

1. 维度定理

(3)

其中每个 必须是一个正整数，并且 是表示的群特征标（迹）。

2. 任何不可约表示 中群特征标的平方和等于 ，

(4)

3. 不同表示的正交性

(5)

4. 在给定的表示中，无论是可约的还是不可约的，属于同一类操作的所有矩阵的群特征标都是相同的（但与其他表示中的不同）。

5. 一个群的不可约表示的数量等于该群中共轭类的数量。这个数字是 矩阵的维度（尽管有些可能具有零元素）。

6. 对于任何群，总是存在一个所有元素都为 1 的一维表示（完全对称）。

7. 对于元素表示为矩阵的群，可以通过取矩阵的群特征标来找到一维表示。

8. 可约表示 中存在的不可约表示 的数量 由下式给出：

(6)

其中 是群的群阶，并且总和必须对每个类中的所有元素求和。显式地写出，

(7)

其中 是特征标表中单个条目的群特征标， 是相应共轭类中元素的数量。

不可约表示可以使用Mulliken 符号来表示。