群作用

称一个群 作用于一个集合 ，当存在映射 使得对于所有元素 ，以下条件成立。

1. 其中 是 的单位元。

2. 对于所有 。

在这种情况下， 被称为 变换群， 被称为 -集，而 被称为群作用。

在群作用中，群 置换 的元素。单位元不执行任何操作，而动作的复合对应于复合的动作。例如，如上图所示，对称群 通过置换作用于数字 0 到 9。

对于给定的 ，集合 ，其中群作用移动 ，被称为 群轨道。固定 的 子群 是 的 稳定子群。

例如，群 通过乘以 作用于实数。单位元保持一切不变，而 将 变为 。注意 ，这对应于 。对于 ， 的轨道是 ，稳定子群是平凡的，。此作用的唯一 群不动点 是 。

在群表示中，群通过 线性变换 作用于向量空间 。实际上，表示是从 到 的 群同态， 的一般线性群。一些群在表示中描述，例如特殊线性群，尽管它们可能具有不同的表示。

从历史上看，最早研究的群作用是 伽罗瓦群 在 多项式 的根上的作用。然而，在数学的许多分支中，包括代数、拓扑学、几何、数论和分析，以及科学领域，包括化学和物理学，群作用都有大量的例子和应用。