群表示

群 的表示是 在 向量空间 上的 群作用，通过 可逆线性映射。例如，二元群 有一个表示 由 和 给出。一个表示是 群同态 。

大多数群有许多不同的表示，可能在不同的向量空间上。例如，对称群 在 上有一个表示，由

(1)

其中 是 排列 的 符号。它在 上也有一个表示，由

(2)

一个表示为每个元素提供一个矩阵，因此 的另一个表示由矩阵给出

(3)

如果两个表示是 相似的，则认为它们是等价的。例如，对上述矩阵执行 相似变换，通过

(4)

给出 的以下等价表示，

(5)

的任何表示 可以 被 限制 为任何子群 的表示，在这种情况下，它被表示为 。更令人惊讶的是，在 上的任何表示 可以扩展为 的表示，在更大的 向量空间 上，称为 诱导表示。

表示在数学的许多分支中都有应用，除了在物理学和化学中的应用。理论的名称取决于 群 和 向量空间 。根据 是 有限群、无限 离散群 还是 李群，需要不同的方法。另一个重要的成分是 的标量域。向量空间 可以是无限维的，例如 希尔伯特空间。此外，特殊类型的表示可能需要保留向量空间结构。例如，酉表示 是一个 群同态 到 酉变换 群中，它保留了 上的 埃尔米特内积。

在有利的情况下，例如有限群，任意表示将分解为 不可约表示，即， 其中 是不可约的。对于许多群，不可约表示已经被分类。