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调和加法定理

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总是可以将正弦函数的和写成

f(theta)=acostheta+bsintheta
(1)

单一正弦曲线的形式

f(theta)=ccos(theta+delta).
(2)

这可以通过使用三角加法公式展开 (2) 来完成，得到

f(theta)=ccosthetacosdelta-csinthetasindelta.
(3)

现在，等同 (1) 和 (3) 的系数

a=ccosdelta
(4)
b=-csindelta,
(5)

所以

tandelta=(sindelta)/(cosdelta)
(6)
=-b/a
(7)

并且

a^2+b^2=c^2(cos^2delta+sin^2delta)
(8)
=c^2,
(9)

给出

delta=tan^(-1)(-b/a)
(10)
c=+/-sqrt(a^2+b^2).
(11)

因此，

acostheta+bsintheta =sgn(a)sqrt(a^2+b^2)cos[theta+tan^(-1)(-b/a)]
(12)

(Nahin 1995, p. 346).

事实上，给定两个频率为 omega 的一般正弦函数，

psi_1=A_1sin(omegat+delta_1)
(13)
psi_2=A_2sin(omegat+delta_2),
(14)

它们的和 psi 可以表示为频率为 omega 的正弦函数。

psi=psi_1+psi_2
(15)
=A_1[sin(omegat)cosdelta_1+sindelta_1cos(omegat)]+A_2[sin(omegat)cosdelta_2+sindelta_2cos(omegat)]
(16)
=[A_1cosdelta_1+A_2cosdelta_2]sin(omegat)+[A_1sindelta_1+A_2sindelta_2]cos(omegat).
(17)

现在，定义

Acosdelta=A_1cosdelta_1+A_2cosdelta_2
(18)
Asindelta=A_1sindelta_1+A_2sindelta_2.
(19)

那么 (17) 变为

Acosdeltasin(omegat)+Asindeltacos(omegat)=Asin(omegat+delta).
(20)

平方并相加 (◇) 和 (◇)

A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(delta_2-delta_1).
(21)

同样，将 (◇) 除以 (◇)

tandelta=(A_1sindelta_1+A_2sindelta_2)/(A_1cosdelta_1+A_2cosdelta_2),
(22)

所以

psi=Asin(omegat+delta),
(23)

其中 A 和 delta 由 (◇) 和 (◇) 定义。

此过程可以推广到 n 个调和波之和，给出

psi=sum_(i=1)^(n)A_icos(omegat+delta_i)
(24)
=Acos(omegat+delta),
(25)

其中

A^2=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)A_iA_jcos(delta_i-delta_j)
(26)
=sum_(i=1)^(n)A_i^2+2sum_(i=1)^(n)sum_(j>i)^(n)A_iA_jcos(delta_i-delta_j)
(27)

并且

tandelta=(sum_(i=1)^(n)A_isindelta_i)/(sum_(i=1)^(n)A_icosdelta_i).
(28)

另请参阅

傅里叶级数, 和差化积公式, 简谐运动, 正弦曲线, 叠加原理, 三角加法公式, 三角学

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参考文献

Nahin, P. 无线电科学。 Woodbury, NY: American Institute of Physics, 1995.

在 上被引用

调和加法定理

引用为

Weisstein, Eric W. "调和加法定理。" 来自 --一个 资源。 https://mathworld.net.cn/HarmonicAdditionTheorem.html

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