广义傅里叶级数

广义傅里叶级数是基于函数的完备正交系的特殊性质的函数级数展开。这种级数的典型例子是傅里叶级数，它基于函数 和 的双正交性（这些函数在范围 上的积分下构成完备双正交系）。另一个常见的例子是拉普拉斯级数，它是基于球谐函数 在 和 范围内的正交性的双重级数展开。

给定在区间 上的单变量函数 的完备正交系，函数 满足以下形式的正交关系

(1)

在范围 上，其中 是权重函数， 是给定的常数， 是克罗内克 delta。现在考虑一个任意函数 。将其写成级数

(2)

并将其代入正交关系以获得

(3)

请注意，在推导上述方程时，积分和求和的顺序已颠倒。由于这些关系，如果存在假定形式的 的级数，则其系数将满足

(4)

给定单变量函数的完备双正交系，广义傅里叶级数呈现稍微更特殊的形式。特别地，对于这样的系统，函数 和 满足以下形式的正交关系

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
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对于 ，在范围 上，其中 和 是给定的常数， 是克罗内克 delta。现在考虑一个任意函数 并将其写成级数

(10)

并将其代入正交关系以获得

(11)

由于这些关系，如果存在假定形式的 的级数，则其系数将满足

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			(13)
			(14)

通过取 和 可以恢复通常的傅里叶级数，它们在 上构成完备正交系，权重函数为 ，并注意到，对于函数的这种选择，

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因此，函数 的傅里叶级数由下式给出

(17)

其中系数为

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			(20)