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傅里叶-勒让德级数

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由于勒让德多项式在区间 [-1,1] 上关于权函数 w(x)=1 构成完备正交系，任何函数 f(x) 都可以用它们展开，形式如下：

f(x)=sum_(n=0)^inftya_nP_n(x).
(1)

为了获得展开式中的系数 a_n，将等式两边乘以 P_m(x) 并积分

int_(-1)^1P_m(x)f(x)dx=sum_(n=0)^inftya_nint_(-1)^1P_n(x)P_m(x)dx.
(2)

但是勒让德多项式服从以下正交关系

int_(-1)^1P_n(x)P_m(x)dx=2/(2m+1)delta_(mn),
(3)

其中 delta_(mn) 是克罗内克 delta，所以

int_(-1)^1P_m(x)f(x)dx=sum_(n=0)^(infty)a_n2/(2m+1)delta_(mn)
(4)
=2/(2m+1)a_m
(5)

并且

a_m=(2m+1)/2int_(-1)^1P_m(x)f(x)dx.
(6)

例如，对于 f(x)=sin(pix)，傅里叶-勒让德级数的前几项是

f(x)=3/piP_1(x)+(7(pi^2-15))/(pi^3)P_3(x)+(11(pi^4-105pi^2+945))/(pi^5)P_5(x)+....
(7)

另请参阅

傅里叶-贝塞尔级数, 傅里叶级数, 广义傅里叶级数, 杰克逊定理, 拉普拉斯级数, 勒让德多项式, 皮科内定理

使用 探索

参考文献

Kaplan, W. "傅里叶-勒让德级数。" §7.14 in 高等微积分，第 4 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 508-512, 1992.

在 中被引用

傅里叶-勒让德级数

请引用为

Weisstein, Eric W. "傅里叶-勒让德级数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Fourier-LegendreSeries.html

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