勒贝格常数 -- 来自

勒贝格常数

通常被称为勒贝格常数的常数集合有两个。第一个与通过傅里叶级数逼近函数有关，另一个出现在拉格朗日插值多项式的计算中。

假设函数在区间上可积，且是的傅里叶级数的第个部分和，使得

			(1)
			(2)

and

$S_n(f,x)=1/2a_0+{sum_(k=1)^n[a_kcos(kx)+b_ksin(kx)]}.$

(3)

如果

(4)

对于所有，则

(5)

并且是对于所有连续函数成立的最小常数。的前几个值是

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)

一些关于的求和公式包括

			(14)
			(15)

(Zygmund 1959) 以及积分公式包括

			(16)
		$4/(pi^2)int_0^infty(sinh[(2n+1)x])/(sinhx)ln{coth[1/2(2n+1)x]}dx$	(17)

(Hardy 1942)。对于大的，

(18)

这个结果可以推广到满足以下条件的阶可微函数

(19)

对于所有。在这种情况下，

(20)

where

$L_(n,r)={1/piint_(-pi)^pi|sum_(k=n+1)^(infty)(sin(kx))/(k^r)|dx for r>=1 odd; 1/piint_(-pi)^pi|sum_(k=n+1)^(infty)(cos(kx))/(k^r)|dx for r>=1 even$

(21)

(Kolmogorov 1935, Zygmund 1959).

Watson (1930) 证明了

(22)

where

			(23)
			(24)
			(25)

(OEIS A086052)，其中是伽玛函数，是狄利克雷 lambda 函数，且是欧拉-马歇罗尼常数。

定义拉格朗日插值多项式的第个勒贝格常数为

(26)

那么可以得到

(27)

拉格朗日插值的效率与增长的速度有关。Erdős (1961) 证明了存在一个正的常数，使得

(28)

对于所有。Erdős (1961) 进一步证明了

(29)

因此 (◇) 无法改进。

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更多尝试

参考文献

Finch, S. R. "Lebesgue Constants." §4.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 250-255, 2003.Erdős, P. "Problems and Results on the Theory of Interpolation, II." Acta Math. Acad. Sci. Hungary 12, 235-244, 1961.Hardy, G. H. "Note on Lebesgue's Constants in the Theory of Fourier Series." J. London Math. Soc. 17, 4-13, 1942.Kolmogorov, A. N. "Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierscher reihen differenzierbarer Funktionen." Ann. Math. 36, 521-526, 1935.Sloane, N. J. A. Sequence A086052 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. "The Constants of Landau and Lebesgue." Quart. J. Math. Oxford 1, 310-318, 1930.Zygmund, A. G. Trigonometric Series, 2nd ed., Vols. 1-2. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1959.

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Weisstein, Eric W. "Lebesgue Constants." From --A Resource. https://mathworld.net.cn/LebesgueConstants.html

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