Riesz-Fischer 定理

在分析学中，短语“Riesz-Fischer 定理”用于描述关于 L-p 空间中柯西序列收敛的若干结果。该定理以数学家 Frigyes Riesz 和 Ernst Fischer 的名字命名，他们在 1907 年独立发表了关于 特例的基础性结果。

在其最常用的形式中，Riesz-Fischer 定理指出，对于 ，空间 对于所有测度空间 都是（序列）完备的，即 中函数的每个柯西序列都收敛到 函数 。然而，此陈述比 Riesz 和 Fischer 发表的原始结果更为通用，因为 Riesz 的结果将实数的平方可和序列的收敛性与 中的正交系联系起来，而 Fischer 的结果证明了（使用更陈旧的术语和符号）对于 中的任何柯西序列， 收敛到一个函数 。

值得注意的是，上述陈述甚至可以添加更多的通用性。例如，已知 对于 也是完备的。此外，给定一个函数的内积空间 和 中的正交归一集 ，上述定理可以推广以表明 的序列完备性（即， 是一个 希尔伯特空间）意味着对于每个具有有限 范数的平方可和序列，都存在一个极限函数 。尽管不那么常见，但这两个事实都可以被认为是 Riesz-Fischer 定理的一部分。

还值得注意的是，短语“Riesz-Fischer 定理”有时用于看起来与上述完全不同的结果。例如，由于 在傅里叶级数研究中发挥的作用，因此在文献中看到将关于平方可积函数收敛性的各种傅里叶理论结果归因于 Riesz 和 Fischer 并不罕见。在某些情况下，特别是在较旧的文献中，看到许多关于赋范 线性和内积空间看似不相关的事实也被归因于 Riesz 和 Fischer，这一事实有时可归因于实际定理与其许多推论之间的细微联系。