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完整正交系

在闭区间 x in [a,b] 中，如果对于该区间内的每个分段连续函数 f(x)，最小平方误差

E_n=||f-(c_1phi_1+...+c_nphi_n)||^2

（其中 ||f|| 表示关于权重函数 w(x) 的L2范数）当 n 趋于无穷大时收敛到零。符号表示为，一组函数是完备的，如果

lim_(m->infty)int_a^b[f(x)-sum_(n=0)^ma_nphi_n(x)]^2w(x)dx=0,

其中上述积分是勒贝格积分。

完整正交系的例子包括 {sin(nx),cos(nx)} 在 [-pi,pi] 上（实际上形成了一种稍微特殊的系统，称为完整双正交系统），勒让德多项式 {P_n(x)} 在 [-1,1] 上（Kaplan 1992, p. 512），以及 {sqrt(x)J_0(alpha_nx)} 在 [0,1] 上，其中 J_0(z) 是第一类贝塞尔函数，而 alpha_n 是它的第 n 个根（Kaplan 1992, p. 514）。这些系统分别引出傅里叶级数、傅里叶-勒让德级数和傅里叶-贝塞尔级数。

另请参阅

贝塞尔不等式, 完整双正交系统, 完整函数集, 傅里叶级数, 广义傅里叶级数, 希尔伯特空间, L2范数, 正交函数, 标准正交函数, 过完备系统, 帕塞瓦尔定理

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参考文献

Arfken, G. "Eigenfunctions 的完备性。" §9.4 in 物理学家数学方法，第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 523-538, 1985.Kaplan, W. "正交函数的傅里叶级数：完备性" 和 "完备性的充分条件。" §7.11 和 7.12 in 高等微积分，第 4 版 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 501-505, 1992.

在 上被引用

完整正交系

请引用为

Weisstein, Eric W. "完整正交系。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CompleteOrthogonalSystem.html

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