费马最后定理

费马最后定理是费马首次提出的一个定理，以注释的形式潦草地写在他所藏的古希腊数学家丢番图的《算术》的页边空白处。这个潦草的注释是在他去世后才被发现的，原件现已遗失。然而，一个副本被保存在费马的儿子出版的一本书中。在注释中，费马声称他发现了一个证明，证明丢番图方程 对于 和 没有整数解。

费马陈述的完整文本是用拉丁文写的，内容为 "Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet" (Nagell 1951, p. 252)。翻译过来是：“不可能将一个立方数分成两个立方数之和，或将一个四次方数分成两个四次方数之和，或者更普遍地，不可能将任何大于二次方的幂分成两个同次幂之和。我已经发现了这个命题的一个真正奇妙的证明，但这个页边太窄，无法容纳。”

由于费马的页边注释，命题 丢番图方程

(1)

其中 ， ， 和 是整数，对于 没有非零解，因此被称为费马最后定理。尽管数百年来没有其他数学家能够证明它，但由于费马的陈述，它被称为“定理”。

请注意，限制条件 显然是必要的，因为有很多基本公式可以生成无限多个勾股数 满足方程 ,

(2)

解决该方程的第一个尝试可以通过尝试分解方程来实现，得到

(3)

由于乘积是一个精确的幂，

(4)

求解 和 得到

(5)

这给出

(6)

然而，由于在有理数中求解这些方程并不比求解原始方程更容易，因此不幸的是，这种方法没有提供任何额外的见解。

如果一个奇素数 整除 ，则可以进行约简

(7)

因此重新定义参数得到

(8)

如果没有奇素数整除 ，则 是 2 的幂，因此 ，在这种情况下，方程 (7) 和 (8) 可以用 4 代替 。由于费马证明了 的情况无解，因此只需考虑奇素数幂即可证明费马最后定理。

类似地，只需证明费马最后定理，只需考虑互质的 ， 和 ，因为方程 (1) 中的每一项都可以被 除，其中 是最大公约数。

该定理的所谓“第一种情况”是针对与 ， 和 互质的指数 ()，并由维费里希考虑。索菲·热尔曼证明了对于任何奇素数 ，当 也是一个素数时，费马最后定理的第一种情况成立。随后勒让德证明，如果 是一个素数，使得 ， ， ， 或 也是一个素数，那么费马最后定理的第一种情况对于 成立。这确立了费马最后定理对于 成立。1849 年，库默尔证明了对于所有正则素数和它们作为因子的合数，该定理成立（Vandiver 1929，Ball 和 Coxeter 1987）。

费马最后定理的“第二种情况”是“ 恰好整除 ， ， 中的一个”。请注意， 被 ， ， 互质所排除，并且如果 整除 ， ， 中的两个，那么根据方程 (8)，它也整除第三个。

库默尔的攻击导致了理想理论的产生，范迪弗发展了范迪弗判据，用于判断给定的非正则素数是否满足该定理。1852 年，热诺基证明了如果 且 不是一个非正则对，则第一种情况成立。1858 年，库默尔表明，如果 或 是一个非正则对，则第一种情况成立，后来米里马诺夫 (1909) 将其扩展到包括 和 。范迪弗 (1920ab) 指出了库默尔回忆录中的漏洞和错误，他认为这些漏洞和错误使库默尔对非正则素数 37、59 和 67 的费马最后定理的证明无效，尽管他声称米里马诺夫对指数 37 的 FLT 的证明仍然有效。

维费里希 (1909) 证明，如果方程在与奇素数 互质的整数中求解，则

(9)

（Ball 和 Coxeter 1987）。这样的数被称为维费里希素数。米里马诺夫 (1909) 随后表明

(10)

对于与奇素数 互质的解也必须成立，这排除了前两个维费里希素数 1093 和 3511。1914 年，范迪弗表明

(11)

弗罗贝尼乌斯将其扩展为

(12)

还表明，如果 是素数，形式为 ，则

(13)

这在 1941 年将“第一种情况”中最小可能的 提高到 （Rosser 1941）。格兰维尔和莫纳甘 (1988) 表明，如果存在满足费马最后定理的素数 ，则

(14)

对于 、7、11、...、71。这确立了第一种情况对于所有高达 的素数指数都成立（Vardi 1991）。

费马最后定理的“第二种情况”（对于 ）比第一种情况更难证明。

欧拉证明了定理对于 的一般情况，费马证明了 的情况，狄利克雷和拉格朗日证明了 的情况。1832 年，狄利克雷确立了 的情况。 的情况由拉梅 (1839；Wells 1986, p. 70) 使用恒等式证明：

(15)

尽管此证明中存在一些错误，但这些错误随后在 1840 年被勒贝格修正。在接下来的 150 年中取得了更多进展，但尚未获得完全普遍的结果。数学家林德曼在证明 pi 是超越数后，错误地充满信心，着手发表了几个费马最后定理的证明，但这些证明都是无效的（Bell 1937, pp. 464-465）。还为第一个有效的证明提供了 10 万德国马克的奖金，称为沃尔夫斯克尔奖（Ball 和 Coxeter 1987, p. 72；Barner 1997；Hoffman 1998, pp. 193-194 和 199）。

最近，宮岡洋一 (Cipra 1988) 提出的一个一般证明引起了虚惊，但事实证明他的证明是有缺陷的。沃斯·萨文特 (1993) 讨论了专业和业余数学家尝试的其他证明，尽管沃斯·萨文特错误地声称怀尔斯（下面讨论）在该问题上的工作是无效的。到 1993 年，费马最后定理的一般情况已被证明对于所有高达 的指数都成立（Cipra 1993）。然而，鉴于费马最后定理的证明需要对所有指数都成立，因此对任何有限数量指数的证明都不能构成证明一般定理的任何重大进展（尽管在如此多的情况下没有发现反例这一事实极具启发性）。

1993 年，一颗重磅炸弹被投下。在那一年，安德鲁·怀尔斯 (Cipra 1993, Stewart 1993) 通过证明谷山-志村猜想的半稳定情况，部分证明了一般定理。不幸的是，在怀尔斯通过谷山-志村猜想的方法在使用称为欧拉系统的工具时陷入塞尔默群的属性后不久，在该证明中发现了一些漏洞。然而，怀尔斯和 R. 泰勒在 1994 年底绕过了这个困难（Cipra 1994, 1995），并在 Taylor 和 Wiles (1995) 以及 Wiles (1995) 中发表。怀尔斯的证明成功之处在于：(1) 用伽罗瓦表示代替椭圆曲线，(2) 将问题简化为类数 公式，(3) 证明该公式，以及 (4) 解决由于形式主义在最简单的退化情况下失败而引起的漏洞（Cipra 1995）。

费马最后定理的证明标志着一个数学时代的结束。由于最终用于解决该问题的所有工具几乎都是在费马时代之后才发明的，因此推测他是否真的掌握了该定理的初等证明是很有趣的。从这个问题长期以来顽强抵抗攻击的韧性来看，费马所谓的证明似乎很可能是虚幻的。费马寻找 和 情况的证明进一步支持了这一结论，如果他真的掌握了一般证明，那么这样做将是多余的。

在动画电视节目辛普森一家第 7 季第 6 集（“万圣节特辑 VI”）名为 的片段中，方程 在背景中出现了一次。展开式显示只有前 9 位数字匹配 (Rogers 2005)。辛普森一家第 10 季第 2 集（“常绿台地的巫师”）提到了 ，它在前 10 位小数位上匹配 (Greenwald)。这两个表达式都导致了几乎是整数的表达式。在星际迷航：下一代剧集“皇家赌场”的开头，皮卡德舰长提到研究费马最后定理是一个放松的过程。