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非正则素数

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在 1847 年于巴黎科学院的一次演讲中，加布里埃尔·拉梅 (Gabriel Lamé, 1795-1870) 声称已证明了 费马大定理。然而，约瑟夫·刘维尔 (Joseph Liouville) 立即指出拉梅结果中的一个错误，他指出拉梅错误地假设了 p 次分圆整数环中的唯一分解。库默尔 (Kummer) 已经研究了分圆域中唯一分解的失败，并随后制定了理想理论，该理论后来被戴德金 (Dedekind) 进一步发展。

库默尔能够证明对于所有属于他称为“正则”类的素数指数的 费马大定理。“非正则”素数因此是不属于此类别的素数，并且素数 p 是非正则的 当且仅当 p 整除由 e^(2pii/p) 生成的 分圆域 的类数。等效地，但更方便的是，奇素数 p 是非正则的 当且仅当 p 整除伯努利数 B_(2n) 的分子，其中 2n+1<p。

IrregularPrimes

正如 Jensen 在 1915 年证明的那样，存在无限多个非正则素数（Vandiver 和 Wahlin 1928, p. 82; Carlitz 1954, 1968）。事实上，Jensen 还证明了一个稍微更强的结果，即存在无限多个同余于 5 (mod 6) 的非正则素数 (Carlitz 1968)，Montgomery (1965) 随后改进了这一结果。前几个非正则素数是 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, ... (OEIS A000928)。在小于 4×10^6 的 283145 个素数中，111597 个（或 39.41%）是非正则的。推测的分数是 1-e^(-1/2) approx 39.35% (Ribenboim 1996, p. 415)。

小于 10^n 的非正则素数的数量，对于 n=0, 1, 2, ... 分别是 0, 0, 3, 64, 497, ... (OEIS A092901)。

截至 2009 年 4 月，已知的最大已证明非正则素数是 6B_(4306)/2153，它有 10342 位十进制数字，由 M. Oakes et al. 于 2009 年 4 月 4 日发现 (http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=87451)。已知的最大非正则可能素数是 -B_(22808)/22808 的分子，它有 71290 位数字，由 T. D. Noe 于 2005 年 9 月 28 日发现。使得 |numer(B_n/n)| 为素数的 n 值是 n=12, 16, 18, 26, 34, 36, 38, 42, 74, 114, 118, 396, 674, 1870, 4306, 22808, ... (OEIS A112548)，相应的值必然是非正则的。

另请参阅

伯努利数, 费马大定理, 整数序列素数, 非正则对, 正则素数

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参考文献

Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; and Metsänkylä, T. "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million." Math. Comput. 61, 151-153, 1993.Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsankyla, T.; and Shokrollahi, M. "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million." J. Symb. Comput. 11, 1-8, 2000.Buhler, J. P.; Crandall, R. E.; and Sompolski, R. W. "Irregular Primes to One Million." Math. Comput. 59, 717-722, 1992.Caldwell, C. K. "The Prime Pages. The Top 20: irregular Primes." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=26.Carlitz, L. "A Note on Irregular Primes." Proc. Amer. Math. Soc. 5, 329-331, 1954.Carlitz, L. "Bernoulli Numbers." Fib. Quart. 6, 71-85, 1968.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. 牛津，英国：克拉伦登出版社，p. 202, 1979.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. 普林斯顿，新泽西州：普林斯顿大学出版社，p. 85, 2003.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. 纽约：Hyperion, p. 192, 1998.Johnson, W. "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants." Math. Comput. 29, 113-120, 1975.Johnson, W. "Irregular Prime Divisors of the Bernoulli Numbers." Math. Comput. 28, 653-657, 1974.Montgomery, H. L. "Distribution of Irregular Primes." Ill. J. Math. 9, 553-558, 1965.Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. 纽约：施普林格出版社, pp. 325-329 和 414-425, 1996.Siegel, C. L. "Zu zwei Bemerkungen Kummers." Nachr. Akad. d. Wiss. Göttingen, Math. Phys. Kl. 2, 51-62, 1964.Sloane, N. J. A. Sequences A000928/M5260, A092901, and A112548 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stewart, C. L. "A Note on the Fermat Equation." Mathematika 24, 130-132, 1977.Vandiver, H. S. "On Developments in an Arithmetic Theory of the Bernoulli and Allied Numbers." Scripta Math. 25, 273-303, 1960.Vandiver, H. S. and Wahlin, G. E. "Algebraic Numbers." Bull. Nat. Res. Council, No. 62, 1928.Wagstaff, S. S.  Jr. "The Irregular Primes to 125000." Math. Comput. 32, 583-591, 1978.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

非正则素数

请引用为

Weisstein, Eric W. "非正则素数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IrregularPrime.html

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