有限域 -- 来自 Wolfram MathWorld

有限域是一个具有有限域序（即，元素数量）的域，也称为伽罗瓦域。有限域的阶总是素数或素数的幂（Birkhoff 和 Mac Lane 1996）。对于每个素数幂，都存在恰好一个（通常的警告是“恰好一个”意味着“直到同构为止恰好一个”）有限域 GF()，在当前用法中通常写作。

GF() 称为阶为的素域，并且是模的剩余类的域，其中个元素表示为 0, 1, ..., 。GF() 中的与具有相同的含义。但是请注意，在模 4 的环中，，因此 2 没有倒数，并且模 4 的环与具有四个元素的有限域不同。因此，为了清晰起见，有限域表示为 GF()，而不是 GF()，其中。

有限域 GF(2) 由元素 0 和 1 组成，它们满足以下加法和乘法表。

	0	1
0	0	1
1	1	0

	0	1
0	0	0
1	0	1

如果有限域的元素子集使用与相同的运算符满足上述公理，则称为子域。有限域广泛用于纠错码的研究。

当时，GF() 可以表示为多项式的等价类的域，这些多项式的系数属于 GF()。任何不可约多项式的次数都会产生相同的域，直到同构为止。例如，对于 GF()，模数可以取为或。使用模数，GF() 的元素（写为 0，，，...）可以表示为次数小于 3 的多项式。例如，

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

现在考虑下表，其中包含有限域元素的几种不同表示形式。列分别是幂、多项式表示、多项式表示的系数三元组（向量表示）以及对应于向量表示的二进制整数（常规表示）。

幂	多项式	向量	常规
0	0	(000)	0
	1	(001)	1
		(010)	2
		(100)	4
		(011)	3
		(110)	6
		(111)	7
		(101)	5

第二列中多项式的集合在模的加法和乘法下是封闭的，并且集合上的这些运算满足有限域的公理。这个特定的有限域被称为 GF(2) 的 3 次扩展域，写作 GF()，并且域 GF(2) 称为 GF() 的基域。如果不可约多项式以这种方式生成所有元素，则它称为本原多项式。对于任何素数或素数幂和任何正整数，都存在次数为的 GF() 上的本原不可约多项式。