有理点

一个 -有理点是指代数曲线 上的一个点 ，其中 和 位于域 中。例如，在普通有理数域 中的有理点是满足给定方程的点 ，其中 和 都是有理数。

有理点也可能是无穷远点。例如，考虑椭圆曲线

(1)

并通过引入第三个变量 对其进行齐次化，使每一项的次数都为 3，如下所示

(2)

现在，通过设置 来找到无穷远点，得到

(3)

解得 ，Y 为任意值，并且（根据定义）。尽管 Y 的选择是自由的，但只有一个无穷远点，因为当且仅当一个三元组是另一个三元组的标量倍数时，两个三元组 (, , ) 和 (, , ) 才被认为是等价的（或被识别为相同的）。在这里，(0, 0, 0) 不被认为是有效的点。三元组 (, , 1) 对应于普通点 (, )，而三元组 (, , 0) 对应于无穷远点，通常称为无穷远线。

有限域 GF() 上椭圆曲线的有理点数量为 5, 7, 9, 10, 13, 14, 16, ... (OEIS A005523)。