椭圆判别式

一条椭圆曲线是形如下方程的解的集合

(1)

通过改变变量，，假设域的特征不为2，方程变为

(2)

其中

			(3)
			(4)
			(5)

定义量

(6)

则判别式由下式给出

(7)

判别式取决于方程的选择，并且在改变变量后会发生变化，这与j-不变量不同。

如果域的特征既不是2也不是3，则其方程可以写成

(8)

在这种情况下，判别式由下式给出

(9)

代数上，当右侧有三个不同的根时，判别式非零。在复数上的椭圆曲线的经典情况下，判别式具有几何解释。如果，则椭圆曲线是非奇异的，且具有曲线亏格1，即它是一个环面。如果并且，那么它有一个尖点奇点，在这种情况下，奇点处有一个切线方向。如果并且，则其奇点称为普通双点（或节点），在这种情况下，奇点有两个不同的切线方向。

请注意，椭圆曲线的判别式与相应多项式的多项式判别式不同，但是对于和的相同值，这两种判别式都会消失。