p进数

一个 进数是有理数域的扩张，使得模幂的同余对于固定的素数 与所谓的 “ 进 度量” 中的邻近性相关。

任何非零有理数 可以表示为

(1)

其中 是一个素数， 和 是整数，且不被 整除， 是唯一的整数。然后定义 的 p进范数 为

(2)

也定义 进范数

(3)

进数可能是由 Hensel (亨泽尔) (1897) 首次在一个关于 幂级数中代数数发展的论文中引入的。然后，Kűrschák 在 1913 年将 进数推广到赋值。Hasse (哈asse) (1923) 随后提出了 Hasse 原理，这是局部域理论的主要应用之一。Skolem (斯科伦) 的 进方法，用于攻击某些丢番图方程，是 进数的另一个强大应用。另一个应用是关于调和数 永远不是整数（除了 之外）的定理。类似的应用是使用 进赋值证明 von Staudt-Clausen 定理，尽管技术细节有些困难。 Mahler-Lech 定理提供了另一个应用。

每个有理 都有一个“本质上”唯一的 进展开（“本质上”是因为零项始终可以在开头添加）

(4)

其中 是一个整数， 是 0 到 （包括 0 和 ）之间的整数，并且该和相对于 进赋值是收敛的。如果 且 ，则展开是唯一的。Burger 和 Struppeck (1996) 表明，对于 是一个素数， 是一个正整数，

(5)

其中 进展开式 为

(6)

和

(7)

对于足够大的 ，

(8)

在 上的 进赋值产生了 进 度量

(9)

这反过来又产生了 进拓扑。可以证明，有理数与 进度量一起，不构成完备度量空间。因此，可以构造这个空间的完备化，并且 进数 的集合被定义为这个完备化空间。

正如实数是有理数 关于通常绝对赋值 的完备化一样， 进数是 关于 进赋值 的完备化。 进数在解决丢番图方程中很有用。例如，可以很容易地证明方程 在 2 进数域中无解（我们只需取两边的赋值）。由于 2 进数包含有理数作为子集，我们可以立即看出该方程在有理数中无解。因此，我们立即证明了 的无理性。

这是解决这类方程时常用的论证方法：为了表明方程在 中无解，我们证明它在扩张域中无解。再举一个例子，考虑 。这个方程在 中无解，因为它在实数 中无解，并且 是 的子集。

现在考虑逆命题。假设我们有一个方程，它在 和所有 （对于每个素数 ）中都有解。我们能得出结论，该方程在 中有解吗？不幸的是，一般来说，答案是否定的，但是对于某些类型的方程，答案是肯定的。据说这些方程满足 Hasse 原理。