莫德尔曲线

形如的椭圆曲线，其中为整数。对于所有非零，此方程在整数解的数量是有限的。如果是一个解，那么也是一个解。

Uspensky 和 Heaslet (1939) 给出了、和 2 的基本解，然后将、、和 1 作为练习。欧拉发现，特殊情况（卡塔兰猜想的一个特例）的唯一整数解是、和。这可以使用 Skolem 方法证明，使用 Thue 方程，使用 2-下降法证明椭圆曲线的秩为 0，等等。它在 Uspensky 和 Heaslet (1939, p. 413) 中作为练习 6b 给出，并且 Wakulicz (1957)、Mordell (1969, p. 126)、Sierpiński 和 Schinzel (1988, pp. 75-80) 以及 Metsaenkylae (2003) 发表了证明。

下表总结了对于小的，的 Mordell 曲线的解。

	解
1
2
3
4
5
6	无
7	无
8
9
10

使得 Mordell 曲线没有整数解的值由 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... 给出 (OEIS A054504; Apostol 1976, p. 192)。

另请参阅

卡塔兰猜想, 卡塔兰丢番图问题, 椭圆曲线

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参考文献

Apostol, T. M. 解析数论导论。 New York: Springer-Verlag, 1976.Cohen, H. "

." 2003年11月24日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L=nmbrthry&F=&S=&P=1197.Conrad, M. 无题。 http://emmy.math.uni-sb.de/~simath/MORDELL/MORDELL+.Gebel, J. "关于莫德尔曲线的数据。" http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/.Gebel, J.; Pethő, A.; and Zimmer, H. G. "关于莫德尔方程。" Compos. Math. 110, 335-367, 1998.Llorente, P. and Quer, J. "关于二次域类群的 3-Sylow 子群。" Math. Comput. 50, 321-333, 1988.Mestre, J.-F. "给定不变量的椭圆曲线的秩。" C.R. Acad. Sci. Paris 314, 919-922, 1992.Mestre, J.-F. "不变量为零的椭圆曲线的秩。" C.R. Acad. Sci. Paris 321, 1235-1236, 1995.Metsaenkylae, T. "卡塔兰猜想：另一个古老的丢番图问题得到解决。" Bull. Amer. Math. Soc. S 0273-0979(03)00993-5, 2003年9月5日。Mordell, L. J. 丢番图方程。 London: Academic Press, 1969.Myerson, G. "回复：

。" 2003年11月24日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L=nmbrthry&F=&S=&P=1290.Quer, J. "3-秩为 6 的二次域和秩为 12 的椭圆曲线。" C.R. Acad. Sci. Paris. Sér. 1 Math. 305, 215-218, 1987.Sierpiński, W. and Schinzel, A. 初等数论，第二版，英文版。 Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1988.Sloane, N. J. A. 序列 A054504，在“整数序列在线百科全书”中。Szymiczek, K. "回复：

。" 2003年11月26日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L=nmbrthry&F=&S=&P=1492.Uspensky, J. V. and Heaslet, M. A. 初等数论。 New York: McGraw-Hill, 1939.Wakulicz, A. "关于方程

。" Colloq. Math. 5, 11-15, 1957.Womack, T. "给定秩的莫德尔曲线的最小已知正负

。" http://www.maths.nott.ac.uk/personal/pmxtow/mordellc.htm.

请引用为

Weisstein, Eric W. “莫德尔曲线。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MordellCurve.html