二次曲面

由一般方程给出的二阶代数曲面

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二次曲面也称为二次曲线，共有 17 种标准形式。二次曲面与每个平面的交线都是（真或退化的）圆锥曲线。此外，由固定点到二次曲面的所有切线组成的锥体与每个平面的交线都是圆锥曲线，并且该锥体与曲面的切点形成圆锥曲线（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 12 页）。

二次曲面的例子包括锥体、圆柱体、椭球体、椭圆锥体、椭圆柱体、椭圆双曲面、椭圆抛物面、双曲柱面、双曲抛物面、抛物面、球体和球状体。

定义

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和 , , 作为 是 ... 的根

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同样定义

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然后下表列举了 17 种二次曲线及其性质 (Beyer 1987)。

曲面	方程
重合平面		1	1
椭球体（虚）		3	4		1
椭球体（实）		3	4		1
椭圆锥体（虚）		3	3		1
椭圆锥体（实）		3	3		0
椭圆柱体（虚）		2	3		1
椭圆柱体（实）		2	3		1
椭圆抛物面		2	4		1
双曲柱面		2	3		0
双曲抛物面		2	4		0
单叶双曲面		3	4		0
双叶双曲面		3	4		0
相交平面（虚）		2	2		1
相交平面（实）		2	2		0
抛物柱面		1	3
平行平面（虚）		1	2
平行平面（实）		1	2

在非退化的二次曲面中，椭圆（和普通）柱面、双曲柱面、椭圆（和普通）锥面是直纹曲面，而单叶双曲面和双曲抛物面是双重直纹曲面。

任意位置的两个任意二次曲面的交线与任何平面的交点不能超过四个（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 24 页）。