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Goursat 曲面

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GoursatsCube
GoursatsSurface

由下式定义的一般四次曲面

x^4+y^4+z^4+a(x^2+y^2+z^2)^2+b(x^2+y^2+z^2)+c=0
(1)

(Gray 1997, 第 314 页)。 上面两幅图像分别对应于 (a,b,c)=(0,0,-1), 和 (0,-2,-1), 分别地。

Goursat's surface

上面展示了其他情况。

对应于 (a,b,c)=(0,-2,-1) 的“圆角立方体”情况是体积为 超椭球体

V(0,-2,-1)=(Gamma^4(1/4))/(6sqrt(2)pi),
(2)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数。

情况 (a,b,c)=(0,-1,1/2) 的体积由下式给出

V(0,-1,1/2)=4sqrt(2)int_0^1int_(sqrt(1/2-xsqrt(1-x^2)))^(sqrt(1/2+xsqrt(1-x^2)))f(x,y)dydx
(3)
=int_0^infty-(pi^2)/(16sqrt(2))R{((-1)^(5/8))/(t^(7/4))[(-1)^(1/4)e^(it/8)t^(3/4)×[(-1)^(3/4)J_(1/4)(t/8)-J_(-1/4)(t/8)]^3+(12sqrt(t)Gamma(1/4))/(pi^2)+(2(1+i)Gamma^3(1/4))/(pi^3)]}dt
(4)

其中

f(x,y)=sqrt(1+sqrt(4(x^2-x^4+y^2-y^4)-1))-sqrt(1-sqrt(4x^2(1-x^2)-(1-2y^2)^2)),
(5)

R[z] 是 z 的实部，而 J_nu(z) 是第一类贝塞尔函数 (E. W. Weisstein 和 M. Trott，私人通讯，2008 年 11 月 9 日)，这可能可以用二元超几何函数以闭合形式表示。

相关的曲面

x^n+y^n+z^n=1
(6)

对于 n>=2 的偶数整数，Gray（1997，第 292 页）也考虑了这种情况，它是超椭球体的一个特例。

另请参阅

Chmutov 曲面, 立方体, 超椭球体, 齿状曲面

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参考文献

Banchoff, T. F. "Computer Graphics Tools for Rendering Algebraic Surfaces and for Geometry of Order." In Geometric Analysis and Computer Graphics: Proceedings of a Workshop Held May 23-25, 1988 (Eds. P. Concus, R. Finn, D. A. Hoffman). New York: Springer-Verlag, pp. 31-37, 1991.Goursat, E. "Étude des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyèdre régulier." Ann. Sci. École Norm. Sup. 4, 159-2000, 1897.Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 292 and 314, 1997.

请引用为

Weisstein, Eric W. “Goursat 曲面。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GoursatsSurface.html

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