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椭圆锥

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EllipticCone

一个 锥体 具有 椭圆 截面。高度为 h，半长轴 a 和 半短轴 b 的椭圆锥的 参数方程 为

x=a(h-u)/hcosv
(1)
y=b(h-u)/hsinv
(2)
z=u,
(3)

其中 v in [0,2pi) 且 u in [0,h]。

椭圆锥是一个 二次 直纹曲面，其具有 体积

V=1/3piabh.
(4)

第一基本形式 的系数

E=(h^2+a^2cos^2v+b^2sin^2v)/(h^2)
(5)
F=((a^2-b^2)(h-u)cosvsinv)/(h^2)
(6)
G=((h-u)^2(a^2sin^2v+b^2cos^2v))/(h^2),
(7)

第二基本形式 系数

e=0
(8)
f=0
(9)
g=(sqrt(2)ab(h-u))/(sqrt(2a^2b^2+(a^2+b^2)h^2+(b^2-a^2)h^2cos(2v))),
(10)

则侧表面积可以计算为

S=int_0^(2pi)int_0^hsqrt(EG-F^2)dudv
(11)
=2asqrt(b^2+h^2)E(sqrt((1-(b^2)/(a^2))/(1+(b^2)/(h^2))))
(12)
=2bsqrt(a^2+h^2)E(sqrt((1-(a^2)/(b^2))/(1+(a^2)/(h^2)))),
(13)

其中 E(k) 是 第二类完全椭圆积分，并假设 0<b<a。

高斯曲率 是

K=0,
(14)

平均曲率是

M= (sqrt(2)abh^2(h^2+a^2cos^2v+b^2sin^2v))/((h-u)[2a^2b^2+(a^2+b^2)h^2+(b^2-a^2)h^2cos(2v)]^(3/2)).
(15)

另请参阅

锥体, 椭圆柱, 椭圆抛物面, 双曲抛物面, 二次曲面, 直纹曲面

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参考文献

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 226, 1987.Fischer, G. (Ed.). Plate 68 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 63, 1986.

请引用为

Weisstein, Eric W. "椭圆锥。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticCone.html

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