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贝尔数

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将一个具有 n 个元素的集合划分成非空子集的方式的数量称为贝尔数，记为 B_n（不要与伯努利数混淆，伯努利数也通常记为 B_n）。

例如，数字 {1,2,3} 可以通过五种方式划分：{{1},{2},{3}}， {{1,2},{3}}， {{1,3},{2}}， {{1},{2,3}}， 和 {{1,2,3}}，因此 B_3=5。

B_0=1，并且对于 n=1, 2, ... 的前几个贝尔数是 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, ... (OEIS A000110)。对于 B_(10^n)，当 n=0, 1, ... 时，位数由 1, 6, 116, 1928, 27665, ... (OEIS A113015) 给出。

贝尔数在 Wolfram 语言中实现为BellB[n]。

尽管贝尔数传统上归因于 E. T. 贝尔，这源于他在 1934 年的论文（Bell 1934）中发展的一般理论，但对贝尔数的首次系统研究是由拉马努金在他的第二本笔记本的第 3 章中进行的，大约比贝尔的工作早 25-30 年（B. C. Berndt，私人通信，1 月 4 日和 13 日，2010 年）。

前几个素贝尔数出现在索引 n=2, 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... (OEIS A051130)，并且没有其他小于 30447 的数（Weisstein，2006 年 4 月 23 日）。这些索引对应的数字是 2, 5, 877, 27644437, ... (OEIS A051131)。B_(2841) 在 2004 年由 I. Larrosa Canestro 使用 椭圆曲线素性证明程序 PRIMO 经过 17 个月的计算后被证明是素数。

BellNumbers

贝尔数与卡塔兰数密切相关。上面的图表显示了给出 B_3=5 和 B_4=15 的构造，线段表示同一子集中的元素，点表示包含单个元素的子集 (Dickau)。整数 B_n 可以通过以下总和定义

B_n=sum_(k=0)^nS(n,k),
(1)

其中 S(n,k) 是第二类斯特林数，即作为序列 1, 1, 1, ... 的斯特林变换。

贝尔数以广义超几何函数的形式给出：

B_n=e^(-1)_(n-1)F_(n-1)(2,...,2_()_(n-1);1,...,1_()_(n-1);1)
(2)

（K. A. Penson，私人通信，2007 年 1 月 14 日）。

贝尔数也可以使用总和与递推关系生成

B_n=sum_(k=0)^(n-1)B_k(n-1; k),
(3)

其中 (a; b) 是一个二项式系数，使用 Comtet (1974) 的公式

B_n=[e^(-1)sum_(m=1)^(2n)(m^n)/(m!)]
(4)

对于 n>0，其中 [x] 表示向上取整函数。Dobiński 公式给出了第 n 个贝尔数

B_n=1/esum_(k=0)^infty(k^n)/(k!).
(5)

Dobiński 公式的一个变体给出

B_n=sum_(k=1)^(n)(k^n)/(k!)sum_(j=0)^(n-k)((-1)^j)/(j!)
(6)
=sum_(m=1)^(n)(m^n!(n-m))/(Gamma(m+1)Gamma(n-m+1))
(7)

其中 !n 是一个错位排列数 (Pitman 1997)。

双重求和由下式给出

B_n=sum_(k=1)^nsum_(i=1)^k((-1)^(k-i)i^n)/(k!).
(8)

贝尔数由生成函数给出

G(x)=1/esum_(k=0)^(infty)1/((1-kx)k!)
(9)
=sum_(k=0)^(infty)(x^k)/((-x)^k((x-1)/x)_k)
(10)
=(_1F_1(-1/x;(x-1)/x;1))/e
(11)
=((-1)^(1/x)[xGamma(1-x^(-1))+Gamma(-x^(-1),-1)])/(ex)
(12)
=sum_(n=0)^(infty)B_nx^n
(13)
=1+x+2x^2+5x^3+15x^4+52x^5+...,
(14)

和指数生成函数

e^(e^x-1)=sum_(n=0)^infty(B_n)/(n!)x^n.
(15)

Cesàro (1885) 给出了一个惊人的 B_n 的积分表示：

B_n=(2n!)/(pie)I[int_0^pie^(e^(e^(ntheta)))sin(ntheta)dtheta]
(16)
=(2n!)/(pie)int_0^pie^(e^(costheta)cos(sint))sin[e^(costheta)sin(sintheta)]sin(ntheta)dtheta
(17)

(Becker 和 Browne 1941, Callan 2005)，其中 I[z] 表示 z 的虚部。

贝尔数 B_n 也等于 phi_n(1)，其中 phi_n(x) 是一个贝尔多项式。

de Bruijn (1981) 给出了渐近公式

(lnB_n)/n=lnn-lnlnn-1+(lnlnn)/(lnn)+1/(lnn)+1/2((lnlnn)/(lnn))^2+O[(lnlnn)/((lnn)^2)].
(18)

Lovász (1993) 表明该公式给出了渐近极限

B_n∼n^(-1/2)[lambda(n)]^(n+1/2)e^(lambda(n)-n-1),
(19)

其中 lambda(n) 由下式给出

lambda(n)=n/(W(n)),
(20)

其中 W(n) 是Lambert W 函数 (Graham et al. 1994, p. 493)。Odlyzko (1995) 给出了

B_n∼(n!)/(sqrt(2piW^2(n)e^(W(n))))(e^(e^(W(n))-1))/(W^n(n)).
(21)

Touchard 同余指出

B_(p+k)=B_k+B_(k+1) (mod p),
(22)

当 p 是素数时。这对于 k=0 给出了一个特殊情况的同余式

B_p=2 (mod p)
(23)

对于 n 为素数的情况。有人推测

B_(n+(p^p-1)/(p-1))=B_n (mod p)
(24)

给出了 B_n (mod p) 的最小周期。贝尔数序列 {B_1,B_2,...} 是周期性的 (Levine 和 Dalton 1962, Lunnon et al. 1979)，对于模数 m=1, 2, ...，周期由 1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, ... (OEIS A054767) 给出。

贝尔数还具有以下奇特的性质

|B_0 B_1 B_2 ... B_n; B_1 B_2 B_3 ... B_(n+1); | | | ... |; B_n B_(n+1) B_(n+2) ... B_(2n)|=product_(i=1)^(n)i!
(25)
=G(n+2)
(26)

(Lenard 1992)，其中乘积只是一个超阶乘，G(n) 是一个Barnes G 函数，对于 n=0, 1, 2, ...，前几个 Barnes G 函数是 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (OEIS A000178)。

另请参阅

贝尔多项式, 贝尔三角形, 互补贝尔数, Dobiński 公式, 整数序列素数, 第二类斯特林数, Touchard 同余

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参考文献

Becker, H. W. 和 Browne, D. E. "Problem E461 and Solution." Amer. Math. Monthly 48, 701-703, 1941.Bell, E. T. "Exponential Numbers." Amer. Math. Monthly 41, 411-419, 1934.Blasiak, P.; Penson, K. A.; 和 Solomon, A. I. "Dobiński-Type Relations and the Log-Normal Distribution." J. Phys. A: Math. Gen. 36, L273-278, 2003.Callan, D. "Cesàro's integral formula for the Bell numbers (corrected)." 2005 年 10 月 3 日。 http://www.stat.wisc.edu/~callan/papersother/cesaro/cesaro.pdf.Cesàro, M. E. "Sur une équation aux différences mêlées." Nouv. Ann. Math. 4, 36-40, 1885.Comtet, L. 高等组合学：有限与无限展开的艺术，修订版。 多德雷赫特，荷兰：Reidel, 1974.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. 在 数字之书。 纽约：施普林格出版社，pp. 91-94, 1996.de Bruijn, N. G. 分析中的渐近方法。 纽约：多佛出版社，pp. 102-109, 1981.Dickau, R. M. "贝尔数图。" http://mathforum.org/advanced/robertd/bell.html.Dickau, R. "Visualizing Combinatorial Enumeration." Mathematica in Educ. Res. 8, 11-18, 1999.Gardner, M. "The Tinkly Temple Bells." Ch. 2 在 来自科学美国人杂志的分形音乐、超卡片和更多数学娱乐。 纽约：W. H. Freeman, pp. 24-38, 1992.Gould, H. W. 贝尔数和卡塔兰数：两个特殊数字序列的研究书目，第 6 版。 摩根敦，西弗吉尼亚州：Math Monongliae, 1985.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. 具体数学：计算机科学基础，第 2 版。 雷丁，马萨诸塞州：Addison-Wesley, 1994.Lenard, A. 在 来自科学美国人杂志的分形音乐、超卡片和更多数学娱乐。 (M. Gardner)。纽约：W. H. Freeman, pp. 35-36, 1992.Larrosa Canestro, I. "Bell(2841) 是素数。" 2004 年 2 月 13 日。 http://groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14558.Levine, J. 和 Dalton, R. E. "最小周期，模 p，一阶贝尔指数积分。" Math. Comput. 16, 416-423, 1962.Lovász, L. 组合问题与练习，第 2 版。 阿姆斯特丹，荷兰：North-Holland, 1993.Lunnon, W. F.; Pleasants, P. A. B.; 和 Stephens, N. M. "复合模数下贝尔数的算术性质，I。" Acta Arith. 35, 1-16, 1979.Odlyzko, A. M. "渐近枚举方法。" 在 组合学手册，第 2 卷 (Ed. R. L. Graham, M. Grötschel, 和 L. Lovász)。剑桥，马萨诸塞州：麻省理工学院出版社，pp. 1063-1229, 1995. http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/asymptotic.enum.pdf.Penson, K. A.; Blasiak, P.; Duchamp, G.; Horzela, A.; 和 Solomon, A. I. "Hierarchical Dobiński-Type Relations via Substitution and the Moment Problem." 2003 年 12 月 26 日。 http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0312202/.Pitman, J. "Some Probabilistic Aspects of Set Partitions." Amer. Math. Monthly 104, 201-209, 1997.Rota, G.-C. "The Number of Partitions of a Set." Amer. Math. Monthly 71, 498-504, 1964.Sixdeniers, J.-M.; Penson, K. A.; 和 Solomon, A. I. "Extended Bell and Stirling Numbers from Hypergeometric Functions." J. Integer Sequences 4, No. 01.1.4, 2001. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL4/SIXDENIERS/bell.html.Sloane, N. J. A. 序列 A000110/M1484, A000178/M2049, A051130, A051131, A054767, 和 A113015 在 "整数序列在线百科全书" 中。Stanley, R. P. 枚举组合学，第 1 卷。 剑桥，英格兰：剑桥大学出版社，pp. 33-34, 1999.Stanley, R. P. 枚举组合学，第 2 卷。 剑桥，英格兰：剑桥大学出版社，p. 13, 1999.Wilson, D. "贝尔数问题。" [email protected] 邮件列表。 2007 年 7 月 16 日。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

贝尔数

引用为

Weisstein, Eric W. "贝尔数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/BellNumber.html

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