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von Staudt-Clausen 定理


von Staudt-Clausen 定理,有时也称为 Staudt-Clausen 定理 (Carlitz 1968),指出:

 B_(2n)=A_n-sum_(p_k; (p_k-1)|2n)1/(p_k),
(1)

其中 B_(2n) 是一个 伯努利数A_n 是一个 整数,且 p_k 是满足 (p_k-1)|(2n)素数,即 p_k-1 整除 2n

例如,对于 n=1,和式中包含的素数为 2 和 3,因为 (2-1)|2(3-1)|2,得到

 B_2=1/6=1-(1/2+1/3).
(2)

类似地,对于 n=6,包含的素数为 (2, 3, 5, 7, 13),因为 (1, 2, 4, 6, 12) 整除 12=2·6,得到

 B_(12)=-(691)/(2730)=1-(1/2+1/3+1/5+1/7+1/(13)).
(3)

对于 n=1, 2, ...,A_n 的前几个值为 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, ... (OEIS A000146),以及连续和式中出现的素数列表为 2, 3;2, 3, 5;2, 3, 7;2, 3, 5;2, 3, 11;... (OEIS A080092)。

拉马努金重新发现了该定理 (Hardy 1999, p. 11),并且可以使用 p-adic 数 来证明。


另请参阅

伯努利数, p-adic 数

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参考文献

Carlitz, L. "Bernoulli Numbers." Fib. Quart. 6, 71-85, 1968.Clausen, T. "Theorem." Astron. Nach. 17, 351-352, 1840.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 109, 1996.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "The Theorem of von Staudt" 和 "Proof of von Staudt's Theorem." §7.9-7.10 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 90-93, 1979.Rado, R. "A New Proof of a Theorem of V. Staudt." J. London Math. Soc. 9, 85-88, 1934.Rado, R. "A Note on the Bernoullian Numbers." J. London Math. Soc. 9, 88-90, 1934.Sloane, N. J. A. 序列 A000146/M1717 和 A080092,出自 "整数序列在线百科全书"。Staudt, K. G. C. von. "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend." J. reine angew. Math. 21, 372-374, 1840.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

von Staudt-Clausen 定理

请引用为

Weisstein, Eric W. "von Staudt-Clausen Theorem." 出自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/vonStaudt-ClausenTheorem.html

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