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欧拉数

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欧拉数，也称为正割数或 锯齿数，定义为 |x|<pi/2 通过

sechx-1=-(E_1^*x^2)/(2!)+(E_2^*x^4)/(4!)-(E_3^*x^6)/(6!)+...
(1)
secx-1=(E_1^*x^2)/(2!)+(E_2^*x^4)/(4!)+(E_3^*x^6)/(6!)+...,
(2)

其中 sech(z) 是 双曲正割，sec 是 正割。欧拉数给出了 奇数 交错排列 的数量，并且与 Genocchi 数 有关。 自然对数 的底 e 有时也被称为欧拉数。

另一种欧拉数，有限复形 K 的欧拉数，定义为

chi(K)=sum(-1)^prank(C_p(K)).
(3)

这个欧拉数是一个拓扑不变量。

更令人困惑的是，欧拉示性数 有时也称为“欧拉数”，而由 素数生成多项式 n^2-n+41 生成的数有时也称为“欧拉数”（Flannery 和 Flannery 2000, p. 47）。 在这项工作中，由该多项式生成的素数被称为 欧拉素数，而素数欧拉数被称为 欧拉数素数。

（正割）欧拉数的一些值是

E_1^*=1
(4)
E_2^*=5
(5)
E_3^*=61
(6)
E_4^*=1385
(7)
E_5^*=50521
(8)
E_6^*=2702765
(9)
E_7^*=199360981
(10)
E_8^*=19391512145
(11)
E_9^*=2404879675441
(12)
E_(10)^*=370371188237525
(13)
E_(11)^*=69348874393137901
(14)
E_(12)^*=15514534163557086905
(15)

（OEIS A000364）。

稍微不同的约定定义为

E_(2n)=(-1)^nE_n^*
(16)
E_(2n+1)=0
(17)

经常使用。例如，这些是由 Wolfram 语言 函数计算的欧拉数EulerE[n]。这个定义有一个特别简单的级数定义

sechx=sum_(k=0)^infty(E_kx^k)/(k!)
(18)

并且等价于

E_n=2^nE_n(1/2),
(19)

其中 E_n(x) 是一个 欧拉多项式。

E_n 中十进制数字的位数，对于 n=0, 2, 4, ... 是 1, 1, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... (OEIS A047893)。 E_(10^n) 中十进制数字的位数，对于 n=0, 1, ... 是 1, 5, 139, 2372, 33699, ... (OEIS A103235)。

欧拉数具有 渐近级数

E_(2n)∼(-1)^n8sqrt(n/pi)((4n)/(pie))^(2n).
(20)

更有效的渐近级数由下式给出

E_(2n)∼(-1)^n8sqrt(n/pi)((4n)/(pie)(480n^2+9)/(480n^2-1))^(2n)
(21)

（P. Luschny，私人通信，2007）。

对于偶数 n 展开 (E-i)^n 得到恒等式

(E-i)^n={0 for n even; -iT_((n+1)/2) for n odd.
(22)

其中系数 E^n 被解释为 |E_n| (Ely 1882; Fort 1948; Trott 2004, p. 69)，而 T_n 是一个 正切数。

Stern (1875) 表明

E_k=E_l (mod 2^n)
(23)

当且仅当 k=l (mod 2^n)。 Sylvester 在 1861 年曾声明过这个结果，但没有证明。

Shanks (1968) 通过以下方式定义了欧拉数的推广

c_(a,n)=((2n)!L_a(2n+1))/(sqrt(a))((2a)/pi)^(2n+1).
(24)

在这里，

c_(1,n)=1/2(-1)^nE_(2n),
(25)

并且 c_(2,n) 是 (2n)! 乘以 cosx/cos(2x) 的级数展开式中 x^(2n) 的系数。类似的表达式适用于 c_(3,n)，但奇怪的是不适用于 c_(a,n)，其中 a>=4。下表给出了 c_(a,n) 对于 n=0, 1, .... 的前几个值。

aOEISc_(a,n)
1A0003641, 1, 5, 61, ...
2A0002811, 3, 57, 2763, ...
3A0004361, 8, 352, 38528, ...
4A0004901, 16, 1280, 249856, ...
5A0001872, 30, 3522, 1066590, ...
6A0001922, 46, 7970, 3487246, ...
7A0640681, 64, 15872, 9493504, ...
8A0640692, 96, 29184, 22634496, ...
9A0640702, 126, 49410, 48649086, ...
10A0640712, 158, 79042, 96448478, ...

另请参阅

伯努利数, 欧拉示性数, 欧拉数素数, 欧拉素数, 欧拉数 (Eulerian Number), 欧拉多项式, 欧拉锯齿数, Genocchi 数, 整数序列素数, Lefschetz 数, 素数生成多项式, 正切数

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/EulerE/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "伯努利和欧拉多项式以及欧拉-麦克劳林公式。" §23.1 在 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版印刷。 纽约：Dover，pp. 804-806, 1972。Caldwell, C. "前 20 名：欧拉不规则数。" http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=25。Conway, J. H. 和 Guy, R. K. 在 数字之书。 纽约：Springer-Verlag，pp. 110-111, 1996。Ely, G. S. "关于伯努利数和欧拉数的一些注释。" Amer. J. Math. 5, 337-341, 1882。Fort, T. 实域中的有限差分和差分方程。 牛津，英格兰：Clarendon Press，1948。Flannery, S. 和 Flannery, D. 代码之内：数学之旅。 伦敦：Profile Books，p. 47, 2000。Guy, R. K. "欧拉数。" §B45 在 数论中未解决的问题，第 2 版。 纽约：Springer-Verlag，p. 101, 1994。Hauss, M. 广义 Stirling 数、伯努利数和欧拉数，其应用和 zeta 函数的快速收敛级数。 亚琛，德国：Verlag Shaker，1995。Knuth, D. E. 和 Buckholtz, T. J. "切线数、欧拉数和伯努利数的计算。" Math. Comput. 21, 663-688, 1967。Munkres, J. R. 代数拓扑要素。 纽约：Perseus Books Pub.,p. 124, 1993。Shanks, D. "广义欧拉数和类数。" Math. Comput. 21, 689-694, 1967。Shanks, D. "广义欧拉数和类数的勘误。" Math. Comput. 22, 699, 1968。Sloane, N. J. A. 序列 A000364/M4019, A014547, A047893, A092823, A103234, 和 A103235 在 "整数序列在线百科全书" 中。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "欧拉数，E_n。" 第 5 章 在 函数图集。 华盛顿特区：Hemisphere，pp. 39-42, 1987。Stern, M. A. "关于欧拉数的理论。" J. reine angew. Math. 79, 67-98, 1875。Trott, M. Mathematica 编程指南。 纽约：Springer-Verlag，2004。 http://www.mathematicaguidebooks.org/。Young, P. T. "伯努利数、欧拉数和斯特林数的同余式。" J. Number Th. 78, 204-227, 1999。

在 Wolfram|Alpha 中引用

欧拉数

引用为

Weisstein, Eric W. "欧拉数。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulerNumber.html

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