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修正的伯努利数

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一个数 b_(2n) 具有 生成函数

sum_(n=0)^(infty)b_(2n)x^(2n)=1/2ln((e^(x/2)-e^(-x/2))/(1/2x))
(1)
=1/2ln2+1/(48)x^2-1/(5760)x^4+1/(362880)x^6-....
(2)

对于 n=1, 2, ..., 分母为 48, 5760, 362880, 19353600, ... (OEIS A057868)。

它有闭合形式

b_0=1/2ln2
(3)
b_n=(B_n)/(2n^2Gamma(n))
(4)

并且 b_(2k-1)=0, 其中 B_n 是 伯努利数，Gamma(n) 是 伽玛函数。

另请参阅

伯努利数, Kontsevich 积分

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Sloane, N. J. A. 整数序列在线百科全书中的序列 A057868。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

修正的伯努利数

请引用为

Weisstein, Eric W. “修正的伯努利数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ModifiedBernoulliNumber.html

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