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德拜函数

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DebyeFunctions1

第一类德拜函数定义为

D_n^((1))(x)=int_0^x(t^ndt)/(e^t-1)
(1)
=x^n[1/n-x/(2(n+1))+sum_(k=1)^(infty)(B_(2k)x^(2k))/((2k+n)(2k!))],
(2)

对于 |x|<2pi, n>=1, 且 B_n 是 伯努利数。 特殊值由下式给出

D_1^((1))(x)=-1/2x^2+ln(1-e^x)x+Li_2(e^x)-zeta(2)
(3)
D_2^((1))(x)=-1/3x^3+ln(1-e^x)x^2+2Li_2(e^x)-2Li_3(e^x)+2zeta(3)
(4)
D_3^((1))(x)=-1/4x^4+ln(1-e^x)x^3+3Li_2(e^x)-6Li_3(e^x)+6Li_4(e^x)-6zeta(4),
(5)

其中 Li_n(x) 是 多重对数函数，zeta(n) 是 黎曼zeta函数。 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 998) 列出了 nD_n^((1))(x)/x^n 在 n=1 到 4 和 x=0 到 10 时的数值。

第二类德拜函数定义为

D_n^((2))(x)=int_x^infty(t^ndt)/(e^t-1)
(6)
=sum_(k=1)^(infty)e^(-kx)[(x^n)/k+(nx^(n-1))/(k^2)+(n(n-1)x^(n-2))/(k^3)+...+(n!)/(k^(n+1))],
(7)

对于 x>0 和 n>=1。

这两个积分的和为

D_n^((1))(x)+D_n^((2))(x)=int_0^infty(t^ndt)/(e^t-1)
(8)
=n!zeta(n+1),
(9)

其中 zeta(z) 是 黎曼zeta函数。

另请参阅

多重对数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). "德拜函数." §27.1 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第9版印刷。 New York: Dover, p. 998, 1972.Beattie, J. A. "德拜能量和比热函数的六位表。" J. Math. Phys. 6, 1-32, 1926.Grüneisen, E. "纯金属电阻率对温度的依赖性。" Ann. Phys. 16, 530-540, 1933.

在 Wolfram|Alpha 中引用

德拜函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "德拜函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DebyeFunctions.html

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