通用覆盖

一个连通拓扑空间 的通用覆盖是一个单连通空间 ，带有一个映射 ，它是一个覆盖映射。如果 是单连通的，即具有平凡基本群，那么它就是它自身的通用覆盖。例如，球面 是它自身的通用覆盖。通用覆盖总是唯一的，并且在非常温和的假设下，总是存在。事实上，拓扑空间 的通用覆盖存在当且仅当空间 是连通的，局部道路连通的，并且半局部单连通的。

的任何性质都可以提升到其通用覆盖，只要它是局部定义的。有时，具有特殊结构的通用覆盖可以被分类。例如， 上的黎曼度量在其通用覆盖上定义了一个度量。如果度量是平坦的，那么它的通用覆盖是欧几里得空间。另一个例子是黎曼曲面 的复结构，它也提升到其通用覆盖。根据单值化定理， 的唯一可能的通用覆盖是开单位圆盘、复平面 或黎曼球面 。

上面的左图显示了环面的通用覆盖，即平面。一个基本区域（橙色阴影部分）可以与环面等同。 实射影平面是穿过原点的直线集合，其通用覆盖是球面，如上右图所示。唯一的非平凡覆盖变换是对径映射。

亏格 的紧黎曼曲面是 洞环面，它们的通用覆盖是单位圆盘。上图显示了圆盘中的双曲正八边形。通过识别彩色边，它成为双环面的基本区域。每个洞有两个环，沿着每个环切割会产生每个环两条边，总共八条边。每个环也以不同的颜色显示，并绘制箭头以提供对齐它们的说明。 基本区域是灰色的，可以与下图所示的双环面等同。上面的动画显示了覆盖变换对基本区域的一些平移，这些变换形成一个富克斯群。它们平铺圆盘，类似于正方形平铺平面以形成方环面。

尽管难以可视化圆盘中的双曲正八边形作为切开的双环面，但上面的图示试图描绘这一点。不幸的是，没有具有恒定负曲率的双曲紧流形可以嵌入到 中。因此，这张图片与双曲正八边形不是等距的。然而，基本群的生成元以相同的颜色绘制，并且是所谓的黎曼曲面的切割的例子。

粗略地说，空间的通用覆盖是通过以下过程获得的。首先，将空间切开以形成带边的单连通空间，然后变成基本区域，就像双环面被切割成双曲八边形或方环面被切开成正方形一样。然后在边上添加基本区域的副本。跨边添加副本的规则是，每个点都必须看起来与原始空间相同，至少在附近。因此，基本区域的副本沿着原始空间中识别的边对齐，但更多的边也可能对齐。基本区域的副本被递归地添加到结果空间，只要还剩下任何边。结果是一个覆盖映射，可能具有无限多个单连通的基本区域的副本。

的任何其他覆盖映射反过来都被 的通用覆盖 覆盖。从这个意义上说，通用覆盖是最大的可能覆盖。用严格的语言来说，通用覆盖具有泛性质。如果 是一个覆盖映射，那么存在一个覆盖映射 ，使得 和 的复合是从通用覆盖到 的投影。