正五边形

正五边形是具有五条边的正多边形，如上图所示。

正五边形顶点之间的一些距离关系可以通过上左图中的相似三角形推导得出，

(1)

其中 是对角线距离。但是连接两个不相邻多边形顶点的虚线垂直线段与对角线长度相同，因此

(2)

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解二次方程并取正号（因为距离必须为正）得到黄金比例

(4)

相对于五边形中心，内接于单位圆的正五边形的顶点的坐标如上图所示，其中

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边长为 的正五边形的外接圆半径、内切圆半径、矢高和面积由下式给出

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其中 是黄金比例。边长为 的正五边形的高度由下式给出

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五个正五边形可以围绕一个相同的五边形排列，形成“五角星雪花”的第一次迭代，它本身具有正五边形的形状，并移除了五个三角形楔形。对于边长为 1 的五边形，第一圈五边形的中心半径为 ，第二圈的半径为 ，第 圈的半径为 。

在命题 IV.11 中，欧几里得展示了如何在圆内接一个正五边形。托勒密在他的划时代著作《天文学大成》中也给出了正五边形的直尺和圆规作图法。虽然托勒密的作图法简洁性为 16，但使用卡莱尔圆的几何作图法可以用作图学符号 完成，其简洁性为 15 (DeTemple 1991)。

以下优雅的正五边形作图法归功于里士满 (1893)。给定一个点，可以构造任意所需半径的圆，并穿过圆心绘制直径。将圆心称为 ，直径的右端点称为 。可以通过找到垂直平分线来构造原始直径的垂线。将这条垂线直径的上端点称为 。对于五边形，找到 的中点并将其称为 。绘制 ，并平分 ，将与 的交点称为 。绘制 平行于 ，五边形的前两个点是 和 ，复制角 然后给出剩余的点 、 和 (Coxeter 1969, Wells 1991)。

Madachy (1979) 说明了如何通过折叠和打结纸条来构造正五边形。