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五角雪花

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Pentaflake

五角雪花是一种分形，具有 5 重对称性。如上图所示，五个五边形可以围绕一个相同的五边形排列，形成五角雪花的第一次迭代。这六个五边形的簇形状像一个去掉了五个三角形楔形的五边形。阿尔布雷希特·丢勒 (Albrecht Dürer) (Dixon 1991) 最早注意到这种结构。

PentaflakeDistances

对于边长为 1 的五边形，第一圈五边形的中心位于半径

d_1=2r=1/2(1+sqrt(5))R=phiR,
(1)

其中 phi 是黄金比例。内半径 r 和外半径 R 通过下式相关

r=Rcos(1/5pi)=1/4(sqrt(5)+1)R,
(2)

这些与边长 s 相关

s=2sqrt(R^2-r^2)=1/2Rsqrt(10-2sqrt(5)).
(3)

高度 h 为

h=ssin(2/5pi)=1/4ssqrt(10+2sqrt(5))=1/2sqrt(5)R,
(4)

给出第二圈的半径为

d_2=2(R+h)=(2+sqrt(5))R=phi^3R.
(5)

继续，第 n 个五边形环位于

d_n=phi^(2n-1).
(6)

现在，第一个五边形复合体的边长由下式给出

s_2=2sqrt((2r+R)^2-(h+R)^2)=Rsqrt(5+2sqrt(5)),
(7)

因此，原始五边形与复合体的边长之比为

(s_2)/s=(Rsqrt(5+2sqrt(5)))/(1/2Rsqrt(10-2sqrt(5)))=1+phi.
(8)

我们现在可以计算五角雪花分形的维度。令 N_n 为黑色五边形的数量，L_n 为在第 n 次迭代后五边形的边长，

N_n=6^n
(9)
L_n=(1+phi)^(-n).
(10)

容量维度因此为

d_(cap)=-lim_(n->infty)(lnN_n)/(lnL_n)
(11)
=(ln6)/(ln(1+phi))
(12)
=1.861715...
(13)

(OEIS A113212)。

PentaflakeRecursiveGrowth

上图展示了一种通过五边形的递归构造获得的吸引人的变体 (Aigner et al. 1991; Zeitler 2002; Trott 2004, pp. 21-22)。

另请参阅

五边形

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参考资料

Aigner, M.; Pein, J.; and Stechmüller, T. T. Math. Semesterber. 38, 242, 1991.Ding, R.; Schattschneider, D.; and Zamfirescu, T. "Tiling the Pentagon." Discr. Math. 221, 113-124, 2000.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 186-188, 1991.Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 76 and 109, 2002.Livio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, pp. 64-65, 2002.Lück, R. Mat. Sci. Eng. A 263, 194-296, 2000.Sloane, N. J. A. Sequence A113212 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Trott, M. Graphica 1: The World of Mathematica Graphics. The Imaginary Made Real: The Images of Michael Trott. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 60 and 88, 1999.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 40-42, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Graphics. New York: Springer-Verlag, p. 19, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 104, 1991.Zeitler, H. Math. Semesterber. 49, 185, 2002.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

五角雪花

引用为

Weisstein, Eric W. "五角雪花。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Pentaflake.html

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