幂级数

变量 中的幂级数是 和 的形式 的无限 和

其中 是 整数、实数、复数 或任何其他给定类型的量。

Pólya 推测，如果一个 函数 具有带 整数 系数 和 收敛半径 1 的幂级数，则要么该 函数 是 有理函数，要么 单位圆 是 自然边界（Pólya 1990，第 43 页和 46 页）。G. Polya 在 1916 年提出了这个猜想，Carlson (1921) 证明了它是正确的，这一结果现在被认为是 20 世纪早期 复分析 的经典之作。

对于任何幂级数，以下情况之一为真

1. 该级数仅当 时收敛。

2. 该级数对于所有 都绝对收敛。

3. 该级数对于某个有限开区间 中的所有 都绝对收敛，如果 或 ，则发散。在点 和 处，该级数可能绝对收敛、条件收敛或发散。

要确定收敛区间，请应用 比率检验 进行 绝对收敛 并求解 。幂级数可以在收敛区间内进行微分或积分。收敛幂级数可以相乘和相除（如果没有除以零的情况）。

收敛 如果 并且如果 则 发散。