收敛半径

一个 幂级数 仅对 x 的某些值收敛 。例如， 在 时收敛。一般来说，总存在一个区间 ，幂级数在该区间内收敛，数字 称为收敛半径（而区间本身称为收敛区间）。量 称为收敛半径，因为在复系数幂级数的情况下，满足 且 的 x 值构成一个半径为 的 开圆盘。

一个 幂级数 在其收敛半径内总是 绝对收敛 的。这可以通过固定 并假设存在一个 子序列 使得 是 无界 的来理解。那么幂级数 不 收敛 （实际上，这些项是无界的），因为它未通过 极限判别法。因此，对于满足 且 的 x，幂级数不收敛，其中

(1)

(2)

并且 表示 上极限。

相反，假设 。那么对于任何满足 且 的半径 s，项 满足

(3)

对于足够大的 （取决于 ）。只需要在 和 之间固定一个 s 值。因为 ，所以幂级数被一个收敛的 几何级数 控制。因此，根据 极限比较判别法，幂级数绝对收敛。