自然边界

考虑复变量 中的幂级数

(1)

它在开圆盘 内收敛。由于在 的边界 上至少存在一个奇点，收敛性被限制在 内。如果 上的奇点密集到解析延拓无法在穿过 的路径上进行，则称 形成函数 的自然边界（或“解析性的自然边界”）。

举例来说，考虑函数

(2)

然后 形式上满足函数方程

(3)

级数 (◇) 显然在 内收敛。现在考虑 。方程 (◇) 告诉我们 ，这只有在 时才能满足。现在考虑 ，方程 (◇) 变为 ，因此 。在方程 (◇) 中用 替换 ，然后得到

(4)

由此得出

(5)

现在考虑 等于单位的四次方根中的任何一个，例如 、，例如 。那么 。递归地应用此过程表明，对于任何满足 使得 且 , 1, 2, ... 的 都是无穷大。因此，在圆 的任何有限长度的弧段中，都将有无限多个点，对于这些点 是无穷大，因此 构成了 的自然边界。

具有自然边界的函数被称为缺项函数。