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庞塞莱封闭定理

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Poncelet's porism

如果为两个给定的圆锥曲线构造的n边庞塞莱横截线对于一个原点是封闭的，那么它对于原点的任何位置都是封闭的。具体而言，给定一个内嵌于另一个椭圆的椭圆，如果存在一个外切内接（同时外切于内部椭圆和内接于外部椭圆）n边形，那么外部椭圆边界上的任何点都是某个外切内接n边形的顶点。如果将圆锥曲线取为圆（Casey 1888，第124-126页），那么同时具有内切圆和外接圆（因此横截线将闭合）的多边形称为双心多边形。

令人惊讶的是，这个问题与盖尔范德问题是同构的（King 1994）。

Poncelet's porism diagonals

对于偶数边多边形，对角线在两个圆的极限点处交汇，而对于奇数边多边形，连接顶点与相对切点的直线在极限点处交汇。

PonceletsPorismInversion

关于两个极限点中的任何一个进行反演都会得到两个同心圆。然而，n边形的边在这个过程中变成了圆弧，因此这种简单的反演并不能自动提供该定理的证明（正如在斯坦纳封闭定理中发生的那样）。

Fuss（1792）不仅推导出了双心四边形的公式，还推导出了双心五边形、六边形、七边形和八边形的公式，Steiner 也做了同样的事情（Fuss 1792；Jacobi 1823；Steiner 1827；Dörrie 1965，第192页）。Chaundy（1923）展示了n=3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20 的封闭定理，以及几个其他值的错误表达式（Kerawala 1947）。Richelot 推导出了 n=11 的表达式。事实上，存在一个通用的解析表达式，将双心多边形的外接圆半径 R、内切圆半径 r 以及 外心 和 内心 之间的偏移量 d 联系起来。给定 R、r 和 d，定义

a=1/(R+d)
(1)
b=1/(R-d)
(2)
c=1/r.
(3)

请注意，由于 r、R 和 d 是正数，且 d<R，因此 0<a<b。

现在让

lambda=1+(2c^2(a^2-b^2))/(a^2(b^2-c^2))
(4)
omega=cosh^(-1)lambda,
(5)

并定义椭圆模量 k 通过

k^2=1-e^(-2omega).
(6)

那么 n 边形为双心多边形的条件是

sc((K(k))/n,k)=(csqrt(b^2-a^2)+bsqrt(c^2-a^2))/(a(b+c)),
(7)

其中 sc(x,k) 是雅可比椭圆函数，K(k) 是第一类完全椭圆积分（Richelot 1830，Kerawala 1947）。Kerawala（1947）能够在不使用椭圆函数的情况下，以简单的显式形式建立许多封闭定理。

PonceletsClosureConst

对于上面图示的两个圆，内圆上的切线可以通过求解以下方程确定

(x_2-x_1)·(x_2-x_0)=0,
(8)

其中

x_0=[d; 0]
(9)
x_1=[costheta; sintheta]
(10)
x_2=[d+rcosphi; rsinphi],
(11)

r 是内圆的半径，x 是内圆的偏移量，theta 是外圆上的给定位置，phi 是切线发生的内圆的角度。取点积并简化得到

r+dcosphi-cos(phi-theta)=0.
(12)

当求解 phi 时，可以使用圆线交点的标准方程找到这条线的延长线再次相交于外圆的点。

对于 n=3、4、...，代数方程的次数 d_n 与 a、b 和 c 相关，分别为 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 21, 24, 24, 32, 36, ... （OEIS A002348；Kerawala 1947）。设 n 的质因数分解写为

n=2^(alpha_0)product_(i)p_i^(alpha_i),
(13)

那么 d_n 通常由下式给出

d_n=(4^(alpha_0))/8product_(i)p_i^(2(alpha_i-1))(p_i^2-1).
(14)

在以下表达式中，写出

e_0=a+b+c
(15)
e_1=-a+b+c
(16)
e_2=a-b+c
(17)
e_3=a+b-c
(18)
E_1=-a^2+b^2+c^2
(19)
E_2=a^2-b^2+c^2
(20)
E_3=a^2+b^2-c^2
(21)
F_1=-E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
(22)
F_2=E_2E_3-E_3E_1+E_1E_2
(23)
F_3=E_2E_3+E_3E_1-E_1E_2
(24)
F_0=E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
(25)
=e_0e_1e_2e_3
(26)
g_0=E_1E_2E_3+2abE_1E_2+2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(27)
g_1=E_1E_2E_3-2abE_1E_2+2bcE_2E_3-2caE_3E_1
(28)
g_2=E_1E_2E_3-2abE_1E_2-2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(29)
g_3=E_1E_2E_3+2abE_1E_2-2bcE_2E_3-2caE_3E_1
(30)

遵循 Kerawala（1947），以及

p=(R+d)/r
(31)
q=(R-d)/r
(32)

遵循 Richelot（1830）。

双心三角形（n=3），即任何三角形的方程，可以多种方式书写为

a+b=c
(33)
(R+d)^(-1)+(R-d)^(-1)=r^(-1)
(34)
sqrt(R-d-r)+sqrt(R+d-r)=sqrt(2R)
(35)
(p-1)(q-1)=1
(36)

（Richelot 1830），或

R^2-2Rr-d^2=0
(37)

（Steiner 1827；F. Gabriel-Marie 1912，第497-501页；Kerawala 1947；Altshiller-Court 1952，第85-87页；Wells 1992）。后者有时被称为欧拉三角形公式。

对于双心四边形（n=4），半径和偏移量通过以下方程联系起来

a^2+b^2=c^2,
(38)

（Kerawala 1947），展开后为

1/((R-d)^2)+1/((R+d)^2)=1/(r^2)
(39)

（Davis；Durége；Casey 1888，第109-110页；F. Gabriel-Marie 1912，第321页和814-816页；Johnson 1929；Dörie 1965）。这也可以写成

(R^2-d^2)^2=2r^2(R^2+d^2),
(40)
(R+r+d)(R+r-d)(R-r+d)(R-r-d)=r^4
(41)

（Steiner 1827），或

(p^2-1)(q^2-1)=1
(42)

（Richelot 1830）。

双心五边形（n=5）的关系是

r(R-d)=(R+d)sqrt((R-r+d)(R-r-d))+(R+d)sqrt(2R(R-r-d))
(43)

（Steiner 1827）或

4p^2q^2(p-1)(q-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^2
(44)

（Richelot 1830）。一些替代形式由下式给出

(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3
(45)
(a+b+c)^3=4(a^3+b^3+c^3)
(46)
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+4abc=0
(47)
|e_0 e_3 e_2; e_3 e_0 e_1; e_2 e_1 e_0|=0
(48)
a(-a^2+b^2+c^2)+b(a^2-b^2+c^2)+c(a^2+b^2-c^2)+2abc=0,
(49)

和

e_0^(-1)+e_1^(-1)+e_2^(-1)+e_3^(-1)=0
(50)

（Kerawala 1947）。

对于 n=6，

3(R^2-d^2)^4=4r^2(R^2+d^2)(R^2-d^2)^2+16r^4d^2R^2
(51)

（Steiner 1827），

4p^2q^2(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^2
(52)

（Richelot 1830），

F_3=0,
(53)

或

E_1^(-1)+E_2^(-1)=E_3^(-1)
(54)

（Kerawala 1947）。

对于 n=7，

g_3=0
(55)

（Jacobi 1823，Kerawala 1947）

对于 n=8，

E_1^(-2)+E_2^(-2)=E_3^(-2)
(56)

（Kerawala 1947），也可以写成以下形式

16p^4q^4(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^4,
(57)

（Richelot 1830，Jacobi 1823）。Steiner（1827）给出的方程包含（至少一个）印刷错误。

对于 n=9，

aF_2F_3+bF_3F_1-cF_1F_2=0.
(58)

对于 n=10，

16p^2q^2(p^2-1)(q^2-1)[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2 ={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p^2q^2-p^2)^2]^2+[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2}^2
(59)

（Richelot）。

对于 n=12，

64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1)[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2 ={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p^2q^2-p^2)^2]^2+[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2}^2
(60)

（Richelot）。

对于 n=14，

g_1=0.
(61)

对于 n=16，

E_2^(-2)+E_3^(-2)=E_1^(-2),
(62)

（Kerawala 1947）或

64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1){[p^4q^4-(p^2-q^2)^2](p^2+q^2-p^2q^2)}^4 ={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p^2q^2-p^2)^2]^2+[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2}^4
(63)

（Richelot 1830）。

Weill（1878）给出了寻找偶数 n 的封闭定理的近似解 (d,r,R) 的算法。下表给出了固定 R<<1 的近似关系。

nd/Rr/R误差
61/23/4(243)/(128)R^8
81/4(15)/4r(2955538440751415296)/(6568408355712890625)R^(16)
101/(10)sqrt(10)9/(40)sqrt(10)

另请参阅

双心多边形, 双心四边形, 台球, 圆线交点, 共线, 圆内接四边形, 欧拉三角形公式, 约翰逊定理, 庞塞莱横截线, 封闭定理, 韦伊定理

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中被引用

庞塞莱封闭定理

引用为

Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源. https://mathworld.net.cn/PonceletsPorism.html

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