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反演

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InversePoints

反演是将点 P 转换为一组相应的点 P^' 的过程，这些点被称为它们的反演点。如果对于一个具有反演中心 O=(x_0,y_0) 和反演半径 k 的反演圆，两个点 P 和 P^' 被称为互为反演点，如果 P^' 是 DeltaOQP 的高线的垂足，其中 Q 是圆上的一个点，使得 OQ_|_PQ。

反演的类似概念可以在三维空间中相对于反演球执行。

如果 P 和 P^' 是反演点，则通过 P 且垂直于 OP 的直线 L 有时被称为相对于点 P^' 的“极线”，点 P^' 被称为“反演极点”。此外，给定曲线在反演下变换成的曲线称为其反演曲线（或更简单地说，其“反演”）。这种反演最早由雅各布·施泰纳系统地研究。

从相似三角形可以立即得出，反演点 P 和 P^' 满足

(OP)/k=k/(OP^'),
(1)

或

k^2=OP×OP^'
(2)

（Coxeter 1969，第 78 页），其中量 k^2 被称为圆幂（Coxeter 1969，第 81 页）。

相对于反演圆，具有反演中心 (x_0,y_0) 和反演半径 k 的反演圆，点 (x,y) 的一般方程由下式给出

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)
(3)
y^'=y_0+(k^2(y-y_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2).
(4)

在向量形式中，

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/(|x-x_0|^2).
(5)

请注意，反演圆的圆周上的点是其自身的反演点。此外，任何角反演为相反的角。

InversionCircles

将直线视为半径无限的圆，所有圆都反演为圆（Lachlan 1893，第 221 页）。此外，通过在两个所谓的极限点之一处取反演中心，任何两个不相交的圆都可以反演为同心圆（Coxeter 1969），并且任何两个圆都可以反演为自身或反演为两个相等的圆（Casey 1888，第 97-98 页）。正交圆反演为正交圆（Coxeter 1969）。反演圆本身、与其正交的圆以及通过反演中心的直线在反演下是不变的。此外，反演是保角映射，因此角度得以保留。

Inversion

反演将圆和直线变换为圆或直线（并且反演是保角的）的性质使其成为平面解析几何中极其重要的工具。通过选择合适的反演圆，通常可以将一个几何配置转换为另一个更简单的配置，从而更容易地完成证明。上面的图示显示了几何反演结果的示例。

半径为 a，中心为 (x,y) 的圆，相对于具有反演中心 (x_0,y_0) 和反演半径 k 的反演圆的反演是另一个圆，其中心为

x^'=x_0+s(x-x_0)
(6)
y^'=y_0+s(y-y_0)
(7)

和半径

r^'=|s|a,
(8)

其中

s=(k^2)/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-a^2).
(9)

这些方程也可以自然地扩展到相对于三维空间中的球体的反演。

Checker
InverseChecker

上面的图显示了一个以 (0, 0) 为中心的棋盘及其关于也以 (0, 0) 为中心的小圆的反演（Gardner 1984，第 244-245 页；Dixon 1991）。

参见

变形艺术, 阿贝洛斯, 圆幂, 保角映射, 环面, 六角环, 反演曲线, 反演点, 反演圆, 反演运算, 反演极点, 反演半径, 反演球, 反演距离, 反演几何, 极限点, 中圆, 巴普斯链, 波瑟利耶反演器, 排列反演, 极线, 根轴, 施泰纳链, 施泰纳闭合定理

使用 探索

参考文献

Casey, J. "反演理论." §6.4 in 欧几里得《几何原本》前六卷的续篇，包含现代几何的简易入门及大量例题，第 5 版，修订增补版。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 95-112, 1888.Coolidge, J. L. "反演." §1.2 in 圆与球的几何学专著。 New York: Chelsea, pp. 21-30, 1971.Courant, R. and Robbins, H. "几何变换。反演." §3.4 in 什么是数学？：思想和方法的初等方法，第 2 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 140-146, 1996.Coxeter, H. S. M. "圆的反演" and "直线和圆的反演." §6.1 and 6.3 in 几何学导论，第 2 版。 New York: Wiley, pp. 77-83, 1969.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "反演几何导论." Ch. 5 in 几何再探。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 103-131, 1967.Darboux, G. 关于正交系统和曲线坐标的课程。 Paris: Gauthier-Villars, 1910.Dixon, R. "反演点和中圆." §1.6 in 数学图形。 New York: Dover, pp. 62-73, 1991.Durell, C. V. "反演." Ch. 10 in 现代几何：直线和圆。 London: Macmillan, pp. 105-120, 1928.Fukagawa, H. and Pedoe, D. "可以通过反演解决的问题." §1.8 in 日本寺庙几何问题。 Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 17-22 and 93-99, 1989.Gardner, M. 来自《科学美国人》的第六本数学游戏书。 Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.Jeans, J. H. 电磁数学理论，第 5 版。 Cambridge, England: The University Press, 1925.Johnson, R. A. 现代几何：关于三角形和圆的几何学的初等论述。 Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 43-57, 1929.Kelvin, W. T. and Tait, P. G. 力学和动力学原理，第 2 卷。 New York: Dover, p. 62, 1962.Lachlan, R. "反演理论." Ch. 14 in 现代纯几何的初等论述。 London: Macmillian, pp. 218-236, 1893.Liouville, J. "关于前一篇文章的注释。" J. math. pures appl. 12, 265-290, 1847.Lockwood, E. H. "反演." Ch. 23 in 曲线之书。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 176-181, 1967.Maxwell, J. C. 电磁学专著，第 1 卷，未删节第 3 版。 New York: Dover, 1954.Maxwell, J. C. 电磁学专著，第 2 卷，未删节第 3 版。 New York: Dover, 1954.Morley, F. and Morley, F. V. 反演几何。 Boston, MA: Ginn, 1933.Ogilvy, C. S. 几何学漫步。 New York: Dover, pp. 25-31, 1990.Schmidt, H. 反演及其应用。 Munich, Germany: Oldenbourg, 1950.Thomson, W. "威廉·汤姆森先生给刘维尔先生的信的摘录。" J. math. pures appl. 10, 364-367, 1845.Thomson, W. "致刘维尔先生的两封信的摘录。" J. math. pures appl. 12, 256, 1847.Wangerin, A. S.147 in 势论和球函数理论，第二卷。 Berlin: de Gruyter, 1921.Weber, E. 电磁场：理论与应用。 New York: Wiley, p. 244, 1950.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的几何学词典。 London: Penguin, pp. 119-121, 1991.

在 中被引用

反演

引用为

Weisstein, Eric W. "反演。" 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Inversion.html

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