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反演

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InversePoints

反演是将点 P 转换为一组相应的点 P^' 的过程，这些点被称为它们的反演点。如果对于一个具有反演中心 O=(x_0,y_0) 和反演半径 k 的反演圆，两个点 P 和 P^' 被称为互为反演点，如果 P^' 是 DeltaOQP 的高线的垂足，其中 Q 是圆上的一个点，使得 OQ_|_PQ。

反演的类似概念可以在三维空间中相对于反演球执行。

如果 P 和 P^' 是反演点，则通过 P 且垂直于 OP 的直线 L 有时被称为相对于点 P^' 的“极线”，点 P^' 被称为“反演极点”。此外，给定曲线在反演下变换成的曲线称为其反演曲线（或更简单地说，其“反演”）。这种反演最早由雅各布·施泰纳系统地研究。

从相似三角形可以立即得出，反演点 P 和 P^' 满足

(OP)/k=k/(OP^'),
(1)

或

k^2=OP×OP^'
(2)

（Coxeter 1969，第 78 页），其中量 k^2 被称为圆幂（Coxeter 1969，第 81 页）。

相对于反演圆，具有反演中心 (x_0,y_0) 和反演半径 k 的反演圆，点 (x,y) 的一般方程由下式给出

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)
(3)
y^'=y_0+(k^2(y-y_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2).
(4)

在向量形式中，

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/(|x-x_0|^2).
(5)

请注意，反演圆的圆周上的点是其自身的反演点。此外，任何角反演为相反的角。

InversionCircles

将直线视为半径无限的圆，所有圆都反演为圆（Lachlan 1893，第 221 页）。此外，通过在两个所谓的极限点之一处取反演中心，任何两个不相交的圆都可以反演为同心圆（Coxeter 1969），并且任何两个圆都可以反演为自身或反演为两个相等的圆（Casey 1888，第 97-98 页）。正交圆反演为正交圆（Coxeter 1969）。反演圆本身、与其正交的圆以及通过反演中心的直线在反演下是不变的。此外，反演是保角映射，因此角度得以保留。

Inversion

反演将圆和直线变换为圆或直线（并且反演是保角的）的性质使其成为平面解析几何中极其重要的工具。通过选择合适的反演圆，通常可以将一个几何配置转换为另一个更简单的配置，从而更容易地完成证明。上面的图示显示了几何反演结果的示例。

半径为 a，中心为 (x,y) 的圆，相对于具有反演中心 (x_0,y_0) 和反演半径 k 的反演圆的反演是另一个圆，其中心为

x^'=x_0+s(x-x_0)
(6)
y^'=y_0+s(y-y_0)
(7)

和半径

r^'=|s|a,
(8)

其中

s=(k^2)/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-a^2).
(9)

这些方程也可以自然地扩展到相对于三维空间中的球体的反演。

Checker
InverseChecker

上面的图显示了一个以 (0, 0) 为中心的棋盘及其关于也以 (0, 0) 为中心的小圆的反演（Gardner 1984，第 244-245 页；Dixon 1991）。

参见

变形艺术, 阿贝洛斯, 圆幂, 保角映射, 环面, 六角环, 反演曲线, 反演点, 反演圆, 反演运算, 反演极点, 反演半径, 反演球, 反演距离, 反演几何, 极限点, 中圆, 巴普斯链, 波瑟利耶反演器, 排列反演, 极线, 根轴, 施泰纳链, 施泰纳闭合定理

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参考文献

Casey, J. "反演理论." §6.4 in 欧几里得《几何原本》前六卷的续篇，包含现代几何的简易入门及大量例题，第 5 版，修订增补版。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 95-112, 1888.Coolidge, J. L. "反演." §1.2 in 圆与球的几何学专著。 New York: Chelsea, pp. 21-30, 1971.Courant, R. and Robbins, H. "几何变换。反演." §3.4 in 什么是数学？：思想和方法的初等方法，第 2 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 140-146, 1996.Coxeter, H. S. M. "圆的反演" and "直线和圆的反演." §6.1 and 6.3 in 几何学导论，第 2 版。 New York: Wiley, pp. 77-83, 1969.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "反演几何导论." Ch. 5 in 几何再探。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 103-131, 1967.Darboux, G. 关于正交系统和曲线坐标的课程。 Paris: Gauthier-Villars, 1910.Dixon, R. "反演点和中圆." §1.6 in 数学图形。 New York: Dover, pp. 62-73, 1991.Durell, C. V. "反演." Ch. 10 in 现代几何：直线和圆。 London: Macmillan, pp. 105-120, 1928.Fukagawa, H. and Pedoe, D. "可以通过反演解决的问题." §1.8 in 日本寺庙几何问题。 Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 17-22 and 93-99, 1989.Gardner, M. 来自《科学美国人》的第六本数学游戏书。 Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.Jeans, J. H. 电磁数学理论，第 5 版。 Cambridge, England: The University Press, 1925.Johnson, R. A. 现代几何：关于三角形和圆的几何学的初等论述。 Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 43-57, 1929.Kelvin, W. T. and Tait, P. G. 力学和动力学原理，第 2 卷。 New York: Dover, p. 62, 1962.Lachlan, R. "反演理论." Ch. 14 in 现代纯几何的初等论述。 London: Macmillian, pp. 218-236, 1893.Liouville, J. "关于前一篇文章的注释。" J. math. pures appl. 12, 265-290, 1847.Lockwood, E. H. "反演." Ch. 23 in 曲线之书。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 176-181, 1967.Maxwell, J. C. 电磁学专著，第 1 卷，未删节第 3 版。 New York: Dover, 1954.Maxwell, J. C. 电磁学专著，第 2 卷，未删节第 3 版。 New York: Dover, 1954.Morley, F. and Morley, F. V. 反演几何。 Boston, MA: Ginn, 1933.Ogilvy, C. S. 几何学漫步。 New York: Dover, pp. 25-31, 1990.Schmidt, H. 反演及其应用。 Munich, Germany: Oldenbourg, 1950.Thomson, W. "威廉·汤姆森先生给刘维尔先生的信的摘录。" J. math. pures appl. 10, 364-367, 1845.Thomson, W. "致刘维尔先生的两封信的摘录。" J. math. pures appl. 12, 256, 1847.Wangerin, A. S.147 in 势论和球函数理论，第二卷。 Berlin: de Gruyter, 1921.Weber, E. 电磁场：理论与应用。 New York: Wiley, p. 244, 1950.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的几何学词典。 London: Penguin, pp. 119-121, 1991.

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反演

引用为

Weisstein, Eric W. "反演。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Inversion.html

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