主题
Search

极限点

PonceletsPorismInversion

关于某点的反演变换将两个圆变成同心圆。每一对不同的圆都有两个极限点。

PointCircles

极限点对应于共轴圆系的点圆，并且共轴圆系的极限点是相对于该系统中任何圆的反演点。

为了找到半径为 r 和 R 的两个圆的极限点，这两个圆的圆心距离为 d，建立一个坐标系，中心位于半径为 R 的圆上，另一个圆的中心位于 (d,0)。然后，反演中心为 (x_0,0) 的反演圆的中心位置方程，

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-a^2),
(1)

变为

x_1^'=x_0+(k^2(d-x_0))/((d-x_0)^2-r^2)
(2)
x_2^'=x_0+(k^2(0-x_0))/((0-x_0)^2-R^2)
(3)

分别对于第一个圆和第二个圆。令 x_1^'=x_2' 得到

(d-x_0)/((d-x_0)^2-r^2)=(-x_0)/(x_0^2-R^2),
(4)

并使用二次方程求解，得到极限点的位置为

x^'=(d^2-r^2+R^2+/-sqrt((d^2-r^2+R^2)^2-4d^2R^2))/(2d).
(5)

另请参阅

共轴圆系, 同心圆, 反演点, 反演中心, 点圆

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 43, 1888.Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 123 and 130, 1928.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

极限点

请这样引用

Weisstein, Eric W. "Limiting Point." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LimitingPoint.html

主题分类