Jack 多项式

Jack 多项式是多元正交多项式族，依赖于正参数 。Jack 多项式的正交性在 Macdonald (1995, p. 383) 中得到证明。Jack 多项式有着丰富的历史，并且 的特殊情况已被更广泛地研究（Dumitriu et al. 2004）。下表总结了其中一些特殊情况。

	特殊多项式
	四元数区域多项式
1	Schur 多项式
2	区域多项式

Jack (1969-1970) 最初定义了最终以他的名字命名的多项式，当时他试图评估与非中心 Wishart 分布 相关的积分（James 1960, Hua 1963, Dumitriu et al. 2004）。Jack 指出， 的情况是 Schur 多项式，并推测 是区域多项式。Foulkes (1974) 提出了为多项式寻找组合解释的问题，随后 Knop 和 Sahi (1997) 回答了这个问题。后来的作者将 Schur 和区域多项式的许多已知性质推广到 Jack 多项式（Stanley 1989, Macdonald 1995）。Jack 多项式在 随机矩阵 理论中尤其有用（Dumitriu et al. 2004）。

Jack 多项式推广了单项标量函数 ，它在复平面中的单位圆 上是正交的，权重函数为 unity 。因此， 元 Jack 多项式 的区间可以被认为是 维环面（Dumitriu et al. 2004）。

Jack 多项式有几个等效的定义（直到某些归一化约束），以及三种常见的归一化方式（“C”、“J”和“P”）。“J”归一化使最低阶单项式 monomial 的系数恰好等于 ，而“P”归一化是首一的。

设 表示所有单项式 的和，其中 范围涵盖 的所有不同排列。那么，前几个 Jack “J” 多项式由下式给出

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

（Dumitriu et al. 2004 年表 1）。

设 为一个 partition，那么 Jack 多项式 可以定义为相对于 inner product 正交的函数

(7)

其中 是 Kronecker delta，，其中 是 在 中出现的次数 (Macdonald 1995, Dumitriu et al. 2004)。

Jack 多项式 是 Laplace-Beltrami 型算子的唯一齐次多项式本征函数

(8)

其特征值为 ，最高阶项对应于 (Muirhead 1982, Dumitriu 2004)。这里，

(9)

其中 是 的一个分划， 是变量的数量。