抽象向量空间

维度为 且基于域 field 的抽象向量空间是所有形式表达式的集合

(1)

其中 是给定的一组 对象（称为基），而 是 元素的任意 -元组。 通过求和它们的系数，可以将两个这样的表达式加在一起，

(2)

此加法是交换群运算，因为零元素是 而 的逆元是 。 此外，有一种自然的方法可以定义任何元素 与 的任意元素（所谓的标量） 的乘积，

(3)

请注意，乘以 1 不会改变元素。

此结构是对通常向量空间 的形式化推广，其中标量域是实数域 ，并且基由 给出。 与此特殊情况一样，在任何抽象向量空间 中，标量乘法都满足以下两个分配律

1. 对于所有 和所有 ，。

2. 对于所有 和所有 ，。

这些是任何交换加法群中整数倍数的基本性质。 乘积相对于和的这种特殊行为定义了线性结构的概念，该概念最早由 Peano 于 1888 年提出。

线性性特别意味着， 和 的零元素 和 使任何乘积都变为零。 从 (1) 可以得出

(4)

对于所有 ，而从 (2) 可以得出

(5)

对于所有 。

如果承认基具有无限多个元素，则可以获得更一般的抽象向量空间。 在这种情况下，向量空间被称为无限维的，其元素是形式表达式，其中除有限数量的系数外，所有系数都等于零。