希尔伯特空间

希尔伯特空间是一个向量空间 ，带有一个内积 ，使得由以下定义的范数

将 变成一个完备度量空间。如果由范数定义的度量不是完备的，那么 则被称为内积空间。

有限维希尔伯特空间的例子包括

1. 实数 ，其中 是向量 和 的点积。

2. 复数 ，其中 是向量 和 的复共轭的点积。

无限维希尔伯特空间的一个例子是 ，即所有函数 的集合，使得 在整个实数线上的积分是有限的。在这种情况下，内积是

希尔伯特空间总是巴拿赫空间，但反之不一定成立。

麻省理工学院的走廊里流传着一个（小）笑话：“你认识希尔伯特吗？不认识？那你还在他的空间里干什么？”（S. A. Vaughn, 私人通信，2005 年 7 月 31 日）。