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二项式求和

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重要的二项式定理指出

sum_(k=0)^n(n; k)r^k=(1+r)^n.
(1)

考虑二项式系数的幂的和

a_n^((r))=sum_(k=0)^(n)(n; k)^r
(2)
=_rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)),
(3)

其中 _pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;z) 是一个广义超几何函数。当它们存在时，可以使用 Zeilberger 算法快速生成给出这些方程解的递推方程。

对于 r=1，闭式解由下式给出

a_n^((1))=2^n,
(4)

即，二的幂。a_n^((1)) 服从递推关系

a_(n+1)^((1))-2a_n^((1))=0.
(5)

对于 r=2，闭式解由下式给出

a_n^((2))=(2n; n).
(6)

即，中心二项式系数。a_n^((2)) 服从递推关系

(n+1)a_(n+1)^((2))-(4n+2)a_n^((2))=0.
(7)

Franel (1894, 1895) 是第一个获得 a_n^((3)) 递推关系的人，

(n+1)^2a_(n+1)^((3))-(7n^2+7n+2)a_n^((3))-8n^2a_(n-1)^((3))=0
(8)

(Riordan 1980, 第 193 页；Barrucand 1975; Cusick 1989; Jin 和 Dickinson 2000)，因此 a_n^((3)) 有时被称为 Franel 数。 a_n^((3)) 的序列不能表示为固定数量的超几何项（Petkovšek et al. 1996, 第 160 页），因此没有闭式超几何表达式。

Franel (1894, 1895) 也是第一个获得 a_n^((4)) 递推关系的人，

(n+1)^3a_(n+1)^((4))-2(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n^((4)) -4n(4n+1)(4n-1)a_(n-1)^((4))=0
(9)

(Riordan 1980, 第 193 页；Jin 和 Dickinson 2000)。

Perlstadt (1987) 找到了 r=5 和 6 时，长度为 4 的递推关系。

32(n+1)^4(55n^2+253n+292)a_n^((5))+(19415n^6+205799n^5+900543n^4+2082073n^3+2682770n^2+1827064n+514048)a_(n+1)^((5))+(1155n^6+14553n^5+75498n^4+205949n^3+310827n^2+245586n+79320)a_(n+2)^((5))+(n+3)^4(55n^2+143n+94)a_(n+3)^((5))=0.
(10)

Schmidt 和 Yuan (1995) 表明，给出的 r=3、4、5 和 6 的递推关系是最小的，r>6 的最小长度至少为 3。下表总结了小 a_n^((r)) 的前几个值。

rOEISa_n^((r))
1A0000791, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
2A0009841, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ...
3A0001721, 2, 10, 56, 346, 2252, ...
4A0052601, 2, 18, 164, 1810, 21252, ...
5A0052611, 2, 34, 488, 9826, 206252, ...

相应的交错级数是

b_n^((r))=sum_(k=0)^(n)(-1)^k(n; k)^r
(11)
=_rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)),
(12)

前几个值是

b_n^((1))=0
(13)
b_n^((2))=(2^nsqrt(pi))/(Gamma(1/2-1/2n)Gamma(1+1/2n)),
(14)
=2^nP_n(0)
(15)
={0 for n=2k-1; (-1)^k(2k; k) for n=2k
(16)
b_n^((3))=(2^nsqrt(pi)Gamma(1+3/2n))/(n!Gamma(1/2(1-n))Gamma(1+1/2n)^2)
(17)
={0 for n=2k-1; ((-1)^k(3k)!)/((k!)^3) for n=2k,
(18)

其中 Gamma(z) 是伽玛函数，P_n(x) 是勒让德多项式，而 b_3(n) 的奇数项由 de Bruijn 的 s(3,n) 给出，符号交替。

Zeilberger 算法可以用于找到 b_ns 的递推方程，

nb_n^((2))+4(n-1)a_(n-2)^((2))=0 n^2b_n^((3))+3(9n^2-18n+8)b_(n-2)^((3))=0 (n-1)n^3(12n^2-63n+83)b_n^((4))+4(408n^6-3774n^5+13760n^4-25203n^3+24465n^2-11970n+2340)b_(n-2)^((4))+16(n-2)(n-3)^3(12n^2-15n+5)b_(n-4)^((4))=0.
(19)

形式为 sum_(k=0)^(n)(n; k)k^r 的求和（Boros 和 Moll 2004, 第 14-15 页）由下式给出

sum_(k=0)^(n)(n; k)=2^n
(20)
sum_(k=0)^(n)k(n; k)=2^(n-1)n
(21)
sum_(k=0)^(n)k^2(n; k)=2^(n-2)n(n+1)
(22)
sum_(k=0)^(n)k^3(n; k)=2^(n-3)n^2(n+3)
(23)
sum_(k=0)^(n)k^4(n; k)=2^(n-4)n(n+1)(n^2+5n-2)
(24)
sum_(k=0)^(n)k^5(n; k)=2^(n-5)n^2(n^3+10n^2+15n-10),
(25)

其中右侧多项式的系数三角形（忽略偶数/奇数项 n^2 和 n(n+1)）由 1; 1, 3; 1, 5, -2; 1, 10, 15, -10; ... (OEIS A102573)。

de Bruijn (1981) 考虑了求和

s(m,n)=sum_(k=0)^(2n)(-1)^(k+n)(2n; k)^m
(26)

对于 m,n>=1。当 m=1、2 和 3 时，此求和具有闭式形式，

s(1,n)=0
(27)
s(2,n)=((2n)!)/((n!)^2),
(28)

中心二项式系数，给出 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ... (OEIS A000984)，以及

s(3,n)=((3n)!)/((n!)^3),
(29)

给出 1, 6, 90, 1680, 36450, 756756, ... (OEIS A006480; Aizenberg 和 Yuzhakov 1984)。然而，当 m>=4 时，没有类似的公式（de Bruijn 1981）。 s(4,n) 的前几个项是 1, 14, 786, 61340, 5562130, ... (OEIS A050983)，而对于 s(5,n) 是 1, 30, 5730, 1696800, 613591650, ... (OEIS A050984)。

一个有趣的 b_1(n) 的推广由下式给出

sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)(x-k)^n=n!
(30)

对于正整数 n 和所有 x (Ruiz 1996)。这个恒等式是以下事实的结果：差分算子对 n 次多项式应用 n 次将得到 n! 乘以多项式的首项系数。上面的方程只是这种情况的一个特例，通过将 (x-k)^n 替换为任何首项系数为 1 的 P(x-k) 次数为 n 的多项式即可获得一般情况。

倒数二项式系数的无穷和具有解析形式

sum_(k=0)^(infty)1/((n; k))=_2F_1(1,1;-n;-1)
(31)
=-(n+1)int_0^1(dx)/((1-x)^(n+2)(x+1)),
(32)

其中 _2F_1(a,b;c;x) 是一个超几何函数。事实上，一般来说，

sum_(k=0)^infty1/((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^p)
(33)

和

sum_(k=0)^infty((-1)^k)/((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^(p+1)).
(34)

另一个有趣的求和是

sum_(k=0)^(n)(n!)/(k!)=eGamma(n+1,1)
(35)
=|_n!e_|,
(36)

其中 Gamma(a,x) 是一个不完全伽玛函数，而 |_x_| 是向下取整函数。对于 n=1、2、... 的前几个项是 2、5、16、65、326、... (OEIS A000522)。

一系列引人入胜的恒等式，涉及倒数中心二项式系数乘以小幂，由下式给出

sum_(n=1)^(infty)1/((2n; n))=1/(27)(2pisqrt(3)+9)
(37)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(2n; n))=1/9pisqrt(3)
(38)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^2(2n; n))=1/3zeta(2)=1/(18)pi^2
(39)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^3(2n; n))=1/(18)pisqrt(3)[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]-4/3zeta(3)
(40)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^4(2n; n))=(17)/(36)zeta(4)=(17)/(3240)pi^4
(41)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^5(2n; n))=1/(432)pisqrt(3)[psi_3(1/3)-psi_3(2/3)]-(19)/3zeta(5)+1/9zeta(3)pi^2
(42)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^7(2n; n))=(11)/(311040)pisqrt(3)[psi_5(1/3)-psi_5(2/3)]-(493)/(24)zeta(7)+1/3zeta(5)pi^2+(17)/(1620)zeta(3)pi^4,
(43)

(Comtet 1974, 第 89 页；Le Lionnais 1983, 第 29, 30, 41, 36 页；Borwein et al. 1987, 第 27-28 页)，它们源自美丽的公式

sum_(n=1)^infty1/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);1/4)
(44)

对于 k>=1，其中 _mF_n(a_1,...,a_m;b_1,...,b_n;x) 是一个广义超几何函数，psi_n(x) 是多伽玛函数，而 zeta(x) 是黎曼 zeta 函数 (Plouffe 1998)。

B. Cloitre (私人通讯，2004 年 10 月 6 日) 提出的一个漂亮的求和由下式给出

sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1))/(n2^n(2n; n))=1/3ln2.
(45)

可以以闭式形式完成的其他类别的二项式求和包括

sum_(n=1)^(infty)(18-9n)/((2n; n))=(2pi)/(sqrt(3))
(46)
sum_(n=0)^(infty)(50n-6)/((3n; n)2^n)=pi
(47)
sum_(n=1)^(infty)(-150n^2+230n-36)/((3n; n)2^n)=pi
(48)
sum_(n=1)^(infty)(575n^2-965n+273)/((3n; n)2^n)=-6ln2
(49)

(Gosper 1974, Borwein 和 Borwein 1987; Borwein et al. 2004, 第 20-25 页)。其中一些来自一般结果

sum_(n=1)^(infty)(n^k)/((2n; n))=1/2(-1)^(k+1)sum_(j=1)^(k+1)((-1)^jj!S(k+1,j))/(3^j)(2j; j)×[(2pi)/(3sqrt(3))+sum_(i=0)^(j-1)(3^i)/((2i+1)(2i; i))]
(50)
=p_k+q_kpi/(sqrt(3)),
(51)

其中 S(k,j) 是第二类斯特林数，而 p_k、q_k 是确定的有理数（Borwein et al. 2004, 第 23-25 页）。第一种形式的前几个求和是

sum_(n=1)^(infty)1/((2n; n))=1/3+2/9pi/(sqrt(3))
(52)
sum_(n=1)^(infty)n/((2n; n))=2/3+2/9pi/(sqrt(3))
(53)
sum_(n=1)^(infty)(n^2)/((2n; n))=4/3+(10)/(27)pi/(sqrt(3)),
(54)

给出 p_k 的值为 2/3、4/3、10/3、32/3、...，以及 q_k 的值为 2/9、10/27、74/81、....

类似地，第二种形式的前几个求和由下式给出

sum_(n=1)^infty(n^k)/((3n; n)2^n)=r_k+s_kpi+t_kln2.
(55)

其中前几个是

sum_(n=1)^(infty)1/((3n; n)2^n)=2/(25)-6/(125)ln2+(11)/(250)pi
(56)
sum_(n=1)^(infty)n/((3n; n)2^n)=(81)/(625)-(18)/(3125)ln2+(79)/(3125)pi
(57)
sum_(n=1)^(infty)(n^2)/((3n; n)2^n)=(561)/(3125)+(42)/(15625)ln2+(673)/(31250)pi,
(58)

给出 r_k 的值为 2/25、81/625、561/3125、...，s_k 的值为 -6/125、-18/3125、42/15625、...，以及 t_k 的值为 11/250、79/3125、673/31250、....

Borwein (et al. 2004, 第 27-28 页) 推测形式为 的求和的闭式解

sum_(n=1)^infty1/(n^3(3n; n)2^n)
(59)

以多维多重对数表示。

形式为的求和

sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1))/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);-1/4)
(60)

也可以简化 (Plouffe 1998) 以给出特殊情况

sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n(2n; n))=2/5sqrt(5)csch^(-1)2=2/5sqrt(5)lnphi
(61)
sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n^2(2n; n))=2(csch^(-1)2)^2=2(lnphi)^2
(62)
sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n^3(2n; n))=2/5zeta(3).
(63)

其他一般恒等式包括

((a+b)^n)/a=sum_(k=0)^n(n; k)(a-kc)^(k-1)(b+kc)^(n-k)
(64)

(Prudnikov et al. 1986)，当 c=0 时，它给出了二项式定理作为特例，以及

sum_(n=0)^(infty)(2n+s; n)x^n=_2F_1(1/2(s+1),1/2(s+2);s+1,4x)
(65)
=(2^s)/((sqrt(1-4x)+1)^ssqrt(1-4x)),
(66)

其中 _2F_1(a,b;c;z) 是一个超几何函数 (Abramowitz 和 Stegun 1972, 第 555 页；Graham et al. 1994, 第 203 页)。

对于非负整数 n 和 r，其中 r<=n+1,

sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k+1)(n; k)[sum_(j=0)^(r-1)(-1)^j(n; j)(r-j)^(n-k)+sum_(j=0)^(n-r)(-1)^j(n; j)(n+1-r-j)^(n-k)]=n!.
(67)

取 n=2r-1 得到

sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k+1)(n; k)sum_(j=0)^(r-1)(n; j)(r-j)^(n-k)=1/2n!.
(68)

其他恒等式是

sum_(k=0)^n(n+k; k)[x^(n+1)(1-x)^k+(1-x)^(n+1)x^k]=1
(69)

(Gosper 1972) 和

sum_(i)(n_i; 2)+sum_(i>j)n_in_j=(n; 2),
(70)

其中

n=sum_(i)n_i.
(71)

后者是 n^2 的多项式定理的影算模拟

((a+b+c)^2)/2=(a^2)/2+(b^2)/2+(c^2)/2+ab+ac+bc
(72)

使用降阶乘多项式 (n)_2=n(n-1)/2，得到

(a+b+c; 2)=(a; 2)+(b; 2)+(c; 2)+ab+ac+bc.
(73)

该恒等式不仅适用于 (n)_2 和 n^2/2，而且适用于任何形式为 形式为 n(n+a)/2 的二次多项式。

Sinyor et al. (2001) 给出了奇怪的求和

sum_(l^'<=l)sum_(j^'<=j)1/(m-l^')(m+l^(')-j^('); 2l^(')-j^(')+1)(m-l^(')+j^(')-1; j^('))(m-l^('); 2(l-l^('))-(j-j^(')))(m-l^('); j-j^('))
(74)
=1/(2(m-l))(2m; 2l+1)(2l+1; j)
(75)
=1/(2l+1)(2m; 2l)(2l+1; j).
(76)

另请参阅

Apéry 数, 二项式, 二项式系数, 中心二项式系数, 圣诞袜定理, Franel 数, 超几何恒等式, 超几何级数, 幂等数, 约拿公式 克莱恒等式, 卢卡斯对应定理, 夫妻入座问题, 莫雷公式, Nexus 数, 帕斯卡公式, 施密特问题, 斯坦利恒等式, 大卫之星定理, Strehl 恒等式, Székely 恒等式, 华林公式, Worpitzky 恒等式

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, 1972.Aizenberg, I. A. 和 Yuzhakov, A. P. 多维复分析中的积分表示和残差。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 第 194 页, 1984.Almkvist, G.; Krattenthaler, C.; 和 Petersson, J. "Pi 的一些新公式。" 手稿, 2001.Barrucand, P. "问题 75-4：组合恒等式。" SIAM Rev. 17, 168, 1975.Beukers, F. "Apéry 数的另一个同余式。" J. Number Th. 25, 201-210, 1987.Boros, G. 和 Moll, V. 不可抗拒的积分：积分求值中的符号、分析和实验。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. "二项式级数的求值。" §1.7 在 数学实验：通往发现的计算路径。 Wellesley, MA: A K Peters, 第 20-28 页, 2004.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & AGM：解析数论和计算复杂性研究。 New York: Wiley, 1987.Borwein, J. M.; Broadhurst, D. J.; 和 Kamnitzer, J. "中心二项式求和、多重 Clausen 值和 Zeta 函数。" Exp. Math. 10, 25-41, 2001.Comtet, L. 高级组合学：有限和无限展开的艺术，修订增补版。 Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Cusick, T. W. "二项式系数幂和的递推关系。" J. Combin. Th. Ser. A 52, 77-83, 1989.de Bruijn, N. G. 分析中的渐近方法。 New York: Dover, 1981.Egorychev, G. P. 组合求和的积分表示和计算。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1984.Franel, J. "关于 Laisant 的一个问题。" L'intermédiaire des mathématiciens 1, 45-47, 1894.Franel, J. "关于 J. Franel 的一个问题。" L'intermédiaire des mathématiciens 2, 33-35, 1895.Gosper, R. W. Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. 中的项目 42. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT 人工智能实验室, 备忘录 AIM-239, 第 16 页, 1972 年 2 月。 http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item42.Gosper, R. W. 未发表的研究公告。 1974.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. "二项式系数。" 第 5 章 在 具体数学：计算机科学基础，第 2 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 第 153-242 页, 1994.Jin, Y. 和 Dickinson, H. "Apéry 序列和勒让德变换。" J. Austral. Math. Soc. Ser. A 68, 349-356, 2000.Le Lionnais, F. 卓越的数字。 Paris: Hermann, 1983.MacMahon P. A. "二项式系数幂的和。" Quart. J. Math. 33, 274-288, 1902.McIntosh, R. J. "二项式系数幂的交错和的递推关系。" J. Combin. Th. A 63, 223-233, 1993.Perlstadt, M. A. "二项式系数幂和的一些递推关系。" J. Number Th. 27, 304-309, 1987.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Plouffe, S. "受启发猜测的艺术。" 1998 年 8 月 7 日。 http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired.html.Riordan, J. 组合分析导论。 New York: Wiley, 1980.Ruiz, S. "导致威尔逊定理的代数恒等式。" Math. Gaz. 80, 579-582, 1996 年 11 月。Schmidt, A. L. 和 Yuan, J. "二项式系数幂和的递推关系。" 技术报告, 1995.Shanks, E. B. "二项式系数幂的迭代和。" Amer. Math. Monthly 58, 404-407, 1951.Sinyor, J.; Speevak, R.; 和 Tefera, A. "一个新的组合恒等式。" Int. J. Math. Math. Sci. 25, 361-363, 2001.Sloane, N. J. A. 序列 A000079/M1129, A000172/M1971, A000522/M1497, A000984/M1645, A005260/M2110, A005261/M2156, A006480/M4284, A050983, A050984, 和 A102573 在 "整数序列在线百科全书" 中。Strehl, V. "二项式恒等式——组合和算法方面。离散数学趋势。" Disc. Math. 136, 309-346, 1994.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

二项式求和

请引用为

Weisstein, Eric W. "二项式求和。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BinomialSums.html

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