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施密特问题

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施密特 (1993) 提出了一个问题，即对于任何整数 r>=2，由二项式和定义的数列 {c_k^((r))}_(k=1)^infty 是否都是整数。

sum_(k=0)^n(n; k)^r(n+k; k)^r=sum_(k=0)^n(n; k)(n+k; k)c_k^((r))
(1)

都是整数。

下表给出了对于小的 r，sum_(k=0)^(n)(n; k)^r(n+k; k)^r 的前几个值。

rOEIS值
1A0018501, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, ...
2A0052591, 5, 73, 1445, 33001, 819005, ...
3A0928131, 9, 433, 36729, 3824001, 450954009, ...
4A0928141, 17, 2593, 990737, 473940001, ...
5A0928151, 33, 15553, 27748833, 61371200001, ...

Strehl（1993、1994）和 Schmidt（1995）证明了 r=2 的情况，对应于 Franel 数。 Strehl（1994）还找到了 r=3 情况的显式表达式。 因此，r=2,3 的结果恒等式被称为 Strehl 恒等式。 Graham 等人（1994，第 256 页和 549 页）重述了这个问题，他们指出 H. S. Wilf 已证明对于 n<=9 的任何 r，c_n^((r)) 是整数 (Zudilin 2004)。

Zudilin (2004) 肯定地回答了这个问题，他找到了所有 c_n^((r)) 的显式表达式。 特例包括

c_n^((2))=sum_(j=0)^(n)(n; j)^3
(2)
=sum_(j=0)^(n)(n; j)^2(2j; n)
(3)
c_n^((3))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^2(2j; n-j)(n; j)^2
(4)
c_n^((4))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^3(n; j)sum_(k=0)^(n)(k+j; k-j)(j; n-k)(k; j)(2j; k-j)
(5)
c_n^((5))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^4(n; j)^2sum_(k=0)^(n)(k+j; k-j)^2(2j; n-k)(2j; k-j),
(6)

其中 r>5 的值由下式给出

c_n^((2s))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^(2s-1)(n; j)sum_(k_1=0)^(n)(j; n-k_1)(k_1; j)(k_1+j; k_1-j)sum_(k_2=0)^(n)(2j; k_1-k_2)(k_2+j; k_2-j)^2...sum_(k_(s-1)=0)^(n)(2j; k_(s-2)-k_(s-1))(k_(s-1)+j; k_(s-1)-j)^2(2j; k_(s-1)-j)
(7)
c_n^((2s+1))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^(2s)(n; j)sum_(k_1=0)^(n)(2j; n-k_1)(k_1+j; k_1-j)^2sum_(k_2=0)^(n)(2j; k_1-k_2)(k_2+j; k_2-j)^2...sum_(k_(s-1)=0)^(n)(2j; k_(s-2)-k_(s-1))(k_(s-1)+j; k_(s-1)-j)^2(2j; k_(s-1)-j)
(8)

(Zudilin 2004)。

下表总结了小 r 的 c_n^((r)) 序列。 请注意，c_n^((2)) 正好是 Franel 数。

rOEIS{c_n^((r))}
2A0001721, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, ...
3A0006581, 4, 68, 1732, 51076, 1657904, 57793316, ...
4A0928681, 8, 424, 48896, 6672232, 1022309408, ...

另请参阅

Apéry 数, 二项式和, Franel 数, Strehl 恒等式

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参考文献

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Schmidt, A. L. "Generalized q-Legendre Polynomials." J. Comput. Appl. Math. 49, 243-249, 1993.Schmidt, A. L. "Legendre Transforms and Apéry's Sequences." J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58, 358-375, 1995.Sloane, N. J. A. Sequences A000172/M1971, A001850/M2942, A005259/M4020, A000658, A092813, A092814, A092815, and A092868 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Strehl, V. "Binomial Sums and Identities." Maple Technical Newsletter 10, 37-49, 1993.Strehl, V. "Binomial Identities--Combinatorial and Algorithmic Aspects." Discrete Math. 136, 309-346, 1994.Zudilin, W. "On a Combinatorial Problem of Asmus Schmidt." Elec. J. Combin. 11, R22, 1-8, 2004. http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r22.html.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

施密特问题

引用为

Weisstein, Eric W. "施密特问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SchmidtsProblem.html

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