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Apéry 数

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Apéry 数由下式定义

A_n=sum_(k=0)^(n)(n; k)^2(n+k; k)^2
(1)
=sum_(k=0)^(n)([(n+k)!]^2)/((k!)^4[(n-k)!]^2)
(2)
=_4F_3(-n,-n,n+1,n+1;1,1,1;1),
(3)

其中 (n; k) 是一个 二项系数。 前几个数，对于 n=0, 1, 2, ... 是 1, 5, 73, 1445, 33001, 819005, ... (OEIS A005259)。

前几个素数 Apéry 数是 5, 73, 12073365010564729, 10258527782126040976126514552283001, ... (OEIS A092826)，它们的索引是 n=1, 2, 12, 24, ... (OEIS A092825)。

r=2 情况下的 施密特问题 将这些数表示为形式

sum_(k=0)^n(n; k)^2(n+k; k)^2=sum_(k=0)^nsum_(j=0)^n(n; k)(n+k; k)(k; j)^3
(4)

（Strehl 1993, 1994; Koepf 1998, p. 55）。

它们也由 递推方程 给出

A_n=((34n^3-51n^2+27n-5)A_(n-1)-(n-1)^3A_(n-2))/(n^3)
(5)

其中 A_0=1 且 A_1=5 (Beukers 1987)。

还有一组相关的数

B_n=sum_(k=0)^(n)(n; k)^2(n+k; k)
(6)
=_3F_2(-n,-n,n+1;1,1;1)
(7)

(Beukers 1987)，其中 _3F_2(a,b,c;d,e;z) 是一个 广义超几何函数。 对于 n=0, 1, ... 的值是 1, 3, 19, 147, 1251, 11253, 104959, ... (OEIS A005258)。 前几个素数 B 数是 5, 73, 12073365010564729, 10258527782126040976126514552283001, ... (OEIS A092827)，它们的索引是 n=1, 2, 6, 8, ... (OEIS A092828)，对于 n<4.5×10^4 没有其他的 (Weisstein, Mar. 8, 2004)。

B_n 数也由递推方程给出

B_n=((n-1)^2B_(n-2)+(11n^2-11n+3)B_(n-1))/(n^2)
(8)

其中 B_0=1 且 B_1=3。

A_n 和 B_n 都出现在 Apéry 对 zeta(2) 和 zeta(3) 的无理性的证明中 (van der Poorten 1979, Beukers 1987)。 它们满足一些令人惊讶的同余性质，

A_(mp^r-1)=A_(mp^(r-1)-1) (mod p^(3r))
(9)
B_(mp^r-1)=B_(mp^(r-1)-1) (mod p^(3r))
(10)

对于 p 一个 素数 >=5 且 m,r in N (Beukers 1985, 1987)，以及

B_((p-1)/2)={4a^2-2p (mod p) if p=a^2+b^2, a odd; 0 (mod p) if p=3 (mod 4)
(11)

(Stienstra and Beukers 1985, Beukers 1987)。 定义 gamma_n 来自 生成函数

sum_(n=1)^(infty)gamma_nq^n=qproduct_(n=1)^(infty)(1-q^(2n))^4(1-q^(4n))^4
(12)
=q(q^2;q^2)_infty^4(q^4;q^4)_infty^4,
(13)

其中 (a;q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号，给出 gamma_n 为 1, -4, -2, 24, -11, -44, ... (OEIS A030211; Koike 1984) 对于 n=1, 3, 5, ..., 并且

A_((p-1)/2)=gamma_p (mod p)
(14)

对于 p 一个 奇素数 (Beukers 1987)。 此外，对于 p 一个 奇素数 且 m,r in N,

A_((mp^r-1)/2)-gamma_pA_((mp^(r-1)-1)/2)+p^3A_((mp^(r-2)-1)/2)=0 (mod p^r)
(15)

(Beukers 1987)。

Apéry 数由恒等式 A_n=A_(nn) 中的对角线元素给出

A_(mn)=sum_(k=-infty)^(infty)sum_(j=-infty)^(infty)(m; k)^2(n; k)^2(2m+n-j-k; 2m)
(16)
=sum_(k=-infty)^(infty)(m+n-k; k)^2(m+n-2k; m-k)^2
(17)
=sum_(k=-infty)^(infty)(m; k)(n; k)(m+k; k)(n+k; k)
(18)

(Koepf 1998, p. 119)。

另请参阅

二项式求和, 整数序列素数, 施密特问题

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参考文献

Apéry, R. "zeta(2) 和 zeta(3) 的无理性。" Astérisque 61, 11-13, 1979.Apéry, R. "连分数的插值和某些常数的无理性。" Mathématiques, Ministère universités (France), Comité travaux historiques et scientifiques. Bull. Section Sciences 3, 243-246, 1981.Beukers, F. "Apéry 数的一些同余式。" J. Number Th. 21, 141-155, 1985.Beukers, F. "Apéry 数的另一个同余式。" J. Number Th. 25, 201-210, 1987.Chowla, S.; Cowles, J.; 和 Cowles, M. "Apéry 数的同余性质。" J. Number Th. 12, 188-190, 1980.Gessel, I. "Apéry 数的一些同余式。" J. Number Th. 14, 362-368, 1982.Koepf, W. "超几何恒等式。" 第 2 章，超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 29 和 119, 1998.Koike, M. "关于 McKay 的猜想。" Nagoya Math. J. 95, 85-89, 1984.Schmidt, A. L. "勒让德变换和 Apéry 序列。" J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58, 358-375, 1995.Sloane, N. J. A. 序列 A005258/M3057, A005259/M4020, A030211, A092825, A092826, A092827, 和 A092828 在 "整数序列在线百科全书" 中。Stienstra, J. 和 Beukers, F. "关于某些椭圆 K3 曲面的 Picard-Fuchs 方程和形式 Brauer 群。" Math. Ann. 271, 269-304, 1985.Strehl, V. "二项式求和与恒等式。" Maple Technical Newsletter 10, 37-49, 1993.Strehl, V. "二项式恒等式——组合和算法方面。" Discrete Math. 136, 309-346, 1994.van der Poorten, A. "欧拉错过的证明... Apéry 对 zeta(3) 无理性的证明。" Math. Intel. 1, 196-203, 1979.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Apéry 数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Apéry 数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AperyNumber.html

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