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不完全伽玛函数

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“完全” 伽玛函数 Gamma(a) 可以推广到不完全伽玛函数 Gamma(a,x) 使得 Gamma(a)=Gamma(a,0)。 这个“上”不完全伽玛函数由下式给出

Gamma(a,x)=int_x^inftyt^(a-1)e^(-t)dt.
(1)

对于 a 整数 n

Gamma(n,x)=(n-1)!e^(-x)sum_(k=0)^(n-1)(x^k)/(k!)
(2)
=(n-1)!e^(-x)e_(n-1)(x),
(3)

其中 e_n(x) 是指数和函数。它在以下语言中实现为Gamma[a, z] 在 Wolfram Language 中。

特殊情况 x=-1 可以用 子阶乘 !n 表示为

Gamma(n,-1)=e!(n-1).
(4)

不完全伽玛函数 Gamma(0,x) 具有连分数

Gamma(0,x)=(e^(-x))/(x+1-1/(x+3-4/(x+5-9/(x+7+...))))
(5)

(Wall 1948, p. 358)。

下不完全伽玛函数由下式给出

gamma(a,x)=int_0^xt^(a-1)e^(-t)dt
(6)
=a^(-1)x^ae^(-x)_1F_1(1;1+a;x)
(7)
=a^(-1)x^a_1F_1(a;1+a;-x),
(8)

其中 _1F_1(a;b;x) 是第一类合流超几何函数。对于 a 整数 n，

gamma(n,x)=(n-1)!(1-e^(-x)sum_(k=0)^(n-1)(x^k)/(k!))
(9)
=(n-1)![1-e^(-x)e_(n-1)(x)].
(10)

它在以下语言中实现为Gamma[a, 0, z] 在 Wolfram Language 中。

根据定义，下不完全伽玛函数和上不完全伽玛函数满足

Gamma(a,x)+gamma(a,x)=Gamma(a).
(11)

指数积分 Ei(z) 与不完全伽玛函数 Gamma(0,z) 密切相关，关系如下

Gamma(0,z)=-Ei(-z)+1/2[ln(-z)-ln(-1/z)]-lnz.
(12)

因此，对于实数 x，

Gamma(0,x)={-Ei(-x)-ipi for x<0; -Ei(-x) for x>0.
(13)

另请参阅

指数积分, 伽玛函数, 正则化伽玛函数

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma2/, http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma3/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 260, 1972.Arfken, G. "不完全伽玛函数和相关函数。" §10.5 in 物理学家数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 565-572, 1985.Wall, H. S. 连分数的解析理论。 New York: Chelsea, 1948.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

不完全伽玛函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "不完全伽玛函数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/IncompleteGammaFunction.html

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