中心二项式系数

第 个中心二项式系数定义为

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其中 是二项式系数， 是阶乘，而 是双阶乘。

这些数字具有生成函数

(3)

前几个值是 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, ... (OEIS A000984)。(2·10^n; 10^n) 对于 , 1, ... 的十进制位数是 1, 6, 59, 601, 6019, 60204, 602057, 6020597, ... (OEIS A114501)。这些数字收敛于 的十进制展开式的数字 (OEIS A114493)。

中心二项式系数永远不是素数，除非 。

中心二项式系数的缩放形式被称为卡塔兰数

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Erdős 和 Graham (1975) 推测，对于 ，中心二项式系数 永远不是无平方因子数，这有时被称为 Erdős 无平方因子猜想。Sárkőzy 定理（Sárkőzy 1985）提供了一个部分解决方案，指出对于所有足够大的 ，二项式系数 永远不是无平方因子数（Vardi 1991）。Granville 和 Ramare (1996) 随后证明了 Erdős 和 Graham 的猜想，他们确定唯一的无平方因子值是 2、6 和 70，分别对应于 、2 和 4。Sander (1992) 随后表明，只要 不是“太大”，对于足够大的 ，(2n+/-d; n) 也永远不是无平方因子数。

中心二项式系数 可被素数 整除，当且仅当 的 p 进制表示中不包含大于 的数字（P. Carmody，私人通信，2006 年 9 月 4 日）。对于 ，前几个这样的 是 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40, 81, ... (OEIS A005836)。

上面给出了复平面中中心二项式系数的图。

中心二项式系数由以下积分给出

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(Moll 2006, Bailey 等人 2007, p. 163)。

使用 Wolstenholme 定理以及 的事实，可以得出

(6)

对于 的奇素数 (T. D. Noe，私人通信，2005 年 11 月 30 日)。

一个不太常见的第 个中心二项式系数的替代定义（上述系数是其子集）是 ，其中 是向下取整函数。前几个值是 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, ... (OEIS A001405)。中心二项式系数具有生成函数

(7)

这些修改后的中心二项式系数仅对于 , 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 19, 23, 71, ... (OEIS A046098) 是无平方因子数，且小于 的没有其他值 (E. W. Weisstein，2004 年 2 月 4 日)。

一系列有趣的恒等式，涉及中心二项式系数的倒数乘以小幂，由以下公式给出

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	(12)

(OEIS A073016, A073010, A086463 和 A086464; Comtet 1974, p. 89; Le Lionnais 1983, pp. 29, 30, 41, 36)，这些恒等式源于美丽的公式

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对于 ，其中 是广义超几何函数。此类型的其他求和包括

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其中 是多伽玛函数，zeta(x) 是黎曼 zeta 函数 (Plouffe 1998)。

类似地，我们有

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	(19)
	(20)

(OEIS A086465, A086466, A086467 和 A086468; Le Lionnais 1983, p. 35; Guy 1994, p. 257)，其中 是黎曼 zeta 函数。这些恒等式源于类似的恒等式

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