中心二项式系数

第个中心二项式系数定义为

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其中是二项式系数，是阶乘，而是双阶乘。

这些数字具有生成函数

(3)

前几个值是 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, ... (OEIS A000984)。(2·10^n; 10^n) 对于 , 1, ... 的十进制位数是 1, 6, 59, 601, 6019, 60204, 602057, 6020597, ... (OEIS A114501)。这些数字收敛于的十进制展开式的数字 (OEIS A114493)。

中心二项式系数永远不是素数，除非。

中心二项式系数的缩放形式被称为卡塔兰数

(4)

Erdős 和 Graham (1975) 推测，对于，中心二项式系数永远不是无平方因子数，这有时被称为 Erdős 无平方因子猜想。Sárkőzy 定理（Sárkőzy 1985）提供了一个部分解决方案，指出对于所有足够大的，二项式系数永远不是无平方因子数（Vardi 1991）。Granville 和 Ramare (1996) 随后证明了 Erdős 和 Graham 的猜想，他们确定唯一的无平方因子值是 2、6 和 70，分别对应于、2 和 4。Sander (1992) 随后表明，只要不是“太大”，对于足够大的，(2n+/-d; n) 也永远不是无平方因子数。

中心二项式系数可被素数整除，当且仅当的 p 进制表示中不包含大于的数字（P. Carmody，私人通信，2006 年 9 月 4 日）。对于，前几个这样的是 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40, 81, ... (OEIS A005836)。

上面给出了复平面中中心二项式系数的图。

中心二项式系数由以下积分给出

(5)

(Moll 2006, Bailey 等人 2007, p. 163)。

使用 Wolstenholme 定理以及的事实，可以得出

(6)

对于的奇素数 (T. D. Noe，私人通信，2005 年 11 月 30 日)。

一个不太常见的第个中心二项式系数的替代定义（上述系数是其子集）是，其中是向下取整函数。前几个值是 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, ... (OEIS A001405)。中心二项式系数具有生成函数

(7)

这些修改后的中心二项式系数仅对于 , 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 19, 23, 71, ... (OEIS A046098) 是无平方因子数，且小于的没有其他值 (E. W. Weisstein，2004 年 2 月 4 日)。

一系列有趣的恒等式，涉及中心二项式系数的倒数乘以小幂，由以下公式给出

	(8)
	(9)
	(10)
	(11)
	(12)

(OEIS A073016, A073010, A086463 和 A086464; Comtet 1974, p. 89; Le Lionnais 1983, pp. 29, 30, 41, 36)，这些恒等式源于美丽的公式

sum_(n=1)^infty1/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);1/4)

(13)

对于，其中是广义超几何函数。此类型的其他求和包括

			(14)
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其中是多伽玛函数，zeta(x) 是黎曼 zeta 函数 (Plouffe 1998)。

类似地，我们有

	(17)
	(18)
	(19)
	(20)

(OEIS A086465, A086466, A086467 和 A086468; Le Lionnais 1983, p. 35; Guy 1994, p. 257)，其中是黎曼 zeta 函数。这些恒等式源于类似的恒等式

sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1))/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);-1/4).

(21)

另请参阅

二项式系数, 二项式求和, 卡塔兰数, 中心费波诺米尔系数, 中心三项式系数, Erdős 无平方因子猜想, 阶梯行走, Sárkőzy 定理, 配额系统

使用探索

更多尝试

参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. 实验数学实践 Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Boros, G. 和 Moll, V. 不可抗拒的积分：积分求值的符号、分析与实验 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 14, 2004.Comtet, L. 高级组合数学：有限与无限展开的艺术，修订增补版 Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Erdős, P.; Graham, R. L.; Ruzsa, I. Z.; 和 Straus, E. G. "On the Prime Factors of

." Math. Comput. 29, 83-92, 1975.Granville, A. 和 Ramare, O. "Explicit Bounds on Exponential Sums and the Scarcity of Squarefree Binomial Coefficients." Mathematika 43, 73-107, 1996.Guy, R. K. 数论中未解决的问题，第二版 New York: Springer-Verlag, 1994.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, 1983.Lehmer, D. H. "Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient." Amer. Math. Monthly 92, 449-457, 1985.Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.Plouffe, S. "The Art of Inspired Guessing." Aug. 7, 1998. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired.html.Sander, J. W. "On Prime Divisors of Binomial Coefficients." Bull. London Math. Soc. 24, 140-142, 1992.Sárkőzy, A. "On Divisors of Binomial Coefficients. I." J. Number Th. 20, 70-80, 1985.Sloane, N. J. A. Sequences A000984/M1645, A001405/M0769, A005836/M2353, A046098, A073010, A073016, A086463, A086464 A086465, A086466, A086467, A086468, A114493, 和 A114501 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vardi, I. "Application to Binomial Coefficients," "Binomial Coefficients," "A Class of Solutions," "Computing Binomial Coefficients," 和 "Binomials Modulo and Integer." §2.2, 4.1, 4.2, 4.3, 和 4.4 in Mathematica 中的计算娱乐 Redwood City, CA: Addison-Wesley, pp. 25-28 和 63-71, 1991.