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Franel 数

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Franel 数是指以下数字

Fr_n=sum_(k=0)^n(n; k)^3,
(1)

其中 (n; k) 是一个 二项式系数。 n=0, 1, ... 的前几个值是 1, 2, 10, 56, 346, ... (OEIS A000172)。 它们出现在第一个 Strehl 恒等式 中

sum_(k=0)^n(n; k)^3=sum_(k=0)^n(n; k)^2(2k; n),
(2)

并且可以写成闭合形式：

Fr_n=_3F_2(-n,-n,-n;1,1;-1),
(3)

其中 _3F_2(a,b,c;d,e;z) 是一个 广义超几何函数。

它们由以下积分给出

Fr_n=(-1)^nint_0^inftye^(-x)[L_n(x)]^3dx,
(4)

其中 L_n(x) 是一个 拉盖尔多项式。

它们也由以下递推方程给出

a_n=((7n^2-7n+2)a_(n-1)+8(n-1)^2a_(n-2))/(n^2)
(5)

其中 a_0=1 和 a_1=2。

另请参阅

Apéry 常数, 二项式和, Schmidt 问题, Strehl 恒等式

使用 探索

参考文献

Askey, R. Orthogonal Polynomials and Special Functions. Philadelphia, PA: SIAM, p. 43, 1975.Barrucand, P. "Problem 75-4: A Combinatorial Identity." SIAM Rev. 17, 168, 1975.Cusick, T. W. "Recurrences for Sums of Powers of Binomial Coefficients." J. Combin. Th. A 52, 77-83, 1989.Franel, J. "On a Question of Laisant." L'intermédiaire des mathématiciens 1, 45-47, 1894.Franel, J. "On a Question of J. Franel." L'intermédiaire des mathématiciens 2, 33-35, 1895.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, p. 193, 1980.Schmidt, A. L. "Generalized q-Legendre Polynomials." J. Comput. Appl. Math. 49, 243-249, 1993.Schmidt, A. L. "Legendre Transforms and Apéry's Sequences." J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58, 358-375, 1995.Sloane, N. J. A. Sequence A000172/M1971 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

Franel 数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Franel 数。" 来自 --一个 资源。 https://mathworld.net.cn/FranelNumber.html

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