玫瑰曲线

玫瑰曲线，也称为格兰迪玫瑰或多叶线，是一种形状像花瓣的花的曲线。意大利数学家 Guido Grandi 在 1723 年至 1728 年间将其命名为 rhodonea，因为它像玫瑰。玫瑰的极坐标方程通常给出为

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（例如，Lawrence 1972, p. 175；Ferréol；如上图所示）或旋转 后的版本，

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（MacTutor）。正弦版本的优点是，当 为奇数时，玫瑰的花瓣是垂直方向的（向上或向下取决于 ），而余弦方向则使花瓣朝向右侧。

如果 是奇数，则玫瑰是 瓣的。如果 是偶数，则玫瑰是 瓣的。

当且仅当 是有理数时，曲线才是代数的，当 为奇数时，次数为 ，当 为偶数时，次数为 。下表给出了整数 瓣玫瑰 的代数形式。

	方程
1
2
3
4
5

如果 是一个有理数，则曲线在极角 处闭合，其中如果 且 为奇数，则 如果 为偶数。

如果 是无理数，则有无限多个花瓣。

玫瑰曲线是内旋轮线的一种特殊情况，其中 ，得到比例为 和花瓣参数 的玫瑰。

下表总结了对于 的不同值，玫瑰曲线的特殊名称。

	曲线
1/3	三等分角蜗线
1/2	丢勒叶形线
2	四叶玫瑰线
3	三叶玫瑰线

单个花瓣的弧长为

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其中 是第二类完全椭圆积分，花瓣的面积为

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