主题
Search

双曲正割

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
SechReal
最小值 最大值
Powered by webMathematica
SechReImAbs
最小值 最大值
实部
虚部 Powered by webMathematica

双曲正割定义为

sechz=1/(coshz)
(1)
=2/(e^z+e^(-z)),
(2)

其中 coshz 是双曲余弦。它在 Wolfram 语言 中被实现为Sech[z]。

在实数线上，它在 x=0 处有最大值，拐点在 x=+/-cosh^(-1)(sqrt(2))=0.8813735... (OEIS A091648)。它在 x=0.76500995... 处有一个不动点 (OEIS A069814)。

导数由下式给出

d/(dz)sechz=-sechztanhz,
(3)

其中 tanhz 是双曲正切，不定积分由下式给出

intsechzdz=2tan^(-1)[tanh(1/2z)]+C,
(4)

其中 C 是积分常数。

sechz 具有泰勒级数

sechz=sum_(n=0)^(infty)(E_(2n))/((2n)!)z^(2n)
(5)
=1-1/2z^2+5/(24)z^4-(61)/(720)z^6+(277)/(8064)z^8-...
(6)

(OEIS A046976 和 A046977)，其中 E_n 是欧拉数，n! 是阶乘。

在拉马努金 cos/cosh 恒等式中，将 theta^0, theta^4, 和 theta^8 的系数相等

[1+2sum_(n=1)^infty(cos(ntheta))/(cosh(npi))]^(-2)+[1+2sum_(n=1)^infty(cosh(ntheta))/(cosh(npi))]^(-2)=(2Gamma^4(3/4))/pi
(7)

给出惊人的恒等式

sum_(n=1)^inftysech(pin)=1/2{(sqrt(pi))/([Gamma(3/4)]^2)-1} sum_(n=1)^inftyn^4sech(pin)=(18[Gamma(3/4)]^2)/(sqrt(pi))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]^2 sum_(n=1)^inftyn^8sech(pin)=(168[Gamma(3/4)]^2)/(sqrt(pi))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]×sum_(n=1)^inftyn^6sech(pin)-(63000[Gamma(3/4)]^6)/(pi^(3/2))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]^4.
(8)

另请参阅

Benson 公式, 悬链线, 悬链面, 欧拉数, 高斯函数, 双曲余弦, 双曲函数, 反双曲正割, 洛伦兹函数, 扁球面坐标, 伪球面, 正割, 旋转曲面, 曳物线, 阿涅西的女巫曲线

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 83-86, 1972.Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A046976, A046977, A069814, and A091648 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hyperbolic Secant sech(x) and Cosecant csch(x) Functions." Ch. 29 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 273-278, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

双曲正割

请引用为

Weisstein, Eric W. “双曲正割。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HyperbolicSecant.html

主题分类