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双曲正切

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类似于通常的正切

tanz=(sinz)/(cosz),
(1)

双曲正切定义为

tanhz=(sinhz)/(coshz)
(2)
=(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
(3)
=(e^(2z)-1)/(e^(2z)+1),
(4)

其中 sinhz 是双曲正弦，而 coshz 是双曲余弦。符号 thz 有时也使用（Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxix）。

tanhz 在 Wolfram 语言中实现为Tanh[z]。

特殊值包括

tanh0=0
(5)
tanh(lnphi)=1/5sqrt(5),
(6)

其中 phi 是黄金比例。

导数 tanhz 是

d/(dz)tanhz=sech^2z,
(7)

更高阶导数由下式给出

(d^n)/(dz^n)tanhz=(2^(n+1)e^(2z))/((1+e^(2z))^(n+1))sum_(k=0)^(n-1)<n; k>(-1)^ke^(2kz),
(8)

其中 <n; k> 是欧拉数。

不定积分 由下式给出

inttanhzdz=ln(coshz)+C.
(9)

tanhz 具有泰勒级数

tanhz=sum_(n=0)^(infty)(2^(2n)(2^(2n)-1)B_(2n))/((2n)!)z^(2n-1)
(10)
=z-1/3z^3+2/(15)z^5-(17)/(315)z^7+(62)/(2835)z^9-...
(11)

(OEIS A002430 和 A036279)。

正如高斯在 1812 年表明的那样，双曲正切可以写成连分数形式：

tanhx=x/(1+(x^2)/(3+(x^2)/(5+...)))
(12)

(Wall 1948, p. 349; Olds 1963, p. 138)。这个连分数也称为 Lambert 连分数 (Wall 1948, p. 349)。

双曲正切 tanhx 满足二阶常微分方程

1/2f^('')=f^3-f
(13)

以及边界条件 f(0)=0 和 f^'(infty)=0。

另请参阅

伯努利数, 悬链线, 相关系数 - 二元正态分布, Fisher's z-'-变换, 双曲余切, 双曲函数, 反双曲正切, 洛伦兹群, 墨卡托投影, 扁球面坐标, 伪球面, 旋转曲面, 正切, 曳物线

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). “双曲函数”。§4.5 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 纽约：Dover，pp. 83-86, 1972。Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. 积分表、级数表和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, 2000。Jeffrey, A. “双曲恒等式”。§2.5 in 数学公式和积分手册，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000。Olds, C. D. 连分数。 New York: Random House, 1963。Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A002430/M2100 和 A036279。Spanier, J. and Oldham, K. B. “双曲正切函数和双曲余切函数”。Ch. 30 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 279-284, 1987。Wall, H. S. 连分数解析理论。 New York: Chelsea, 1948。Zwillinger, D. (Ed.). “双曲函数”。§6.7 in CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

双曲正切

请这样引用

Weisstein, Eric W. “双曲正切。” 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HyperbolicTangent.html

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