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悬链线

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Catenary

当柔性线缆或链条两端固定并受均匀重力作用时所呈现的曲线。“悬链线”一词源于拉丁语中表示“链条”的词。1669年，荣吉乌斯推翻了伽利略的断言，即悬挂在重力下的链条曲线将是抛物线 (MacTutor Archive)。这条曲线也被称为 alysoid 和 chainette。该方程由莱布尼茨、惠更斯和约翰·伯努利于 1691 年在回应雅各布·伯努利的挑战时获得。

惠更斯于 1690 年在一封给莱布尼茨的信中首次使用“悬链线”一词，而大卫·格雷戈里于 1690 年撰写了关于悬链线的论文 (MacTutor Archive)。如果你沿着直线滚动抛物线，它的焦点会描绘出一条悬链线。正如欧拉在 1744 年证明的那样，悬链线也是旋转时产生最小表面积表面（悬链面）的曲线，对于给定的边界圆而言。

CatenaryCurves

悬链线的参数方程由下式给出

x(t)=t
(1)
y(t)=1/2a(e^(t/a)+e^(-t/a))
(2)
=acosh(t/a),
(3)

其中 t=0 对应于顶点，而 a 是一个参数，决定了悬链线“张开”的速度。上面展示了 a 值从 0.05 到 1.00，步长为 0.05 的悬链线。

弧长、曲率和切线角（对于 t>0）由下式给出

s(t)=asinh(t/a)
(4)
kappa(t)=1/asech^2(t/a)
(5)
phi(t)=2tan^(-1)[tanh(t/(2a))].
(6)

斜率与从对称中心测量的弧长成正比。

Cesàro 方程是

rhoa=s^2+a^2.
(7)
CatenaryArch

圣路易斯拱门非常近似于倒置的悬链线，但它具有非零厚度和变化的横截面积（底部较厚；顶部较薄）。质心底部半长为 L=299.2239 英尺，高度为 625.0925 英尺，顶部横截面积为 125.1406 平方英尺，底部横截面积为 1262.6651 平方英尺。

悬链线也给出了规则多边形“轮子”可以平稳行驶的道路（滚轮线）的形状。对于规则 n-gon，相应悬链线的笛卡尔方程为

y=-Acosh(x/A),
(8)

其中

A=Rcot(pi/n).
(9)

另请参阅

变分法, 悬链面, 林德洛夫定理, 滚轮线, 旋转曲面

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参考文献

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 214, 1987.Geometry Center. "The Catenary." http://www.geom.umn.edu/zoo/diffgeom/surfspace/catenoid/catenary.html.Gray, A. "The Evolute of a Tractrix is a Catenary." §5.3 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 102-103, 1997.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 195 和 199-200, 1972.Lockwood, E. H. "The Tractrix and Catenary." Ch. 13 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 118-124, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "Catenary." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Catenary.html.National Park Service. "Arch History and Architecture: Catenary Curve Equation." http://www.nps.gov/jeff/equation.htm.Pappas, T. "The Catenary & the Parabolic Curves." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 34, 1989.Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 327, 1958.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 247-249, 1999.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 26-27, 1991.Yates, R. C. "Catenary." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 12-14, 1952.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Catenary." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Catenary.html

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