曳物线

曳物线出现在莱布尼茨提出的以下问题中：当一个物体以垂直偏移开始，并被一根恒定长度的绳子沿着一条水平直线拖动时，它的路径是什么（Steinhaus 1999，第250-251页）？通过将物体与狗联系起来，将绳子与皮带联系起来，并将沿着水平线的拉动与狗的主人联系起来，这条曲线在德语中有一个描述性的名称“hundkurve”（狗曲线）。莱布尼茨利用轴是曳物线的渐近线这一事实找到了这条曲线（MacTutor Archive）。

从其定义来看，曳物线正是由最初在顶点上的点描述的悬链线渐伸线（因此悬链线是曳物线渐屈线）。曳物线有时被称为追踪曲线或等切线曲线。曳物线最初由惠更斯于 1692 年研究，他将其命名为“tractrix”。后来，莱布尼茨、约翰·伯努利和其他人也研究了这条曲线。

在笛卡尔坐标系中，曳物线的方程为

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一个参数形式是

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对于参数化为 的弧长、曲率和切线角为

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其中 是 古德曼函数。

令人惊讶的是，曲线下的面积由下式给出

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通过计算可以找到以曳物线的直线切线的角度 表示的第二个参数形式

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然后求解 并代入得到

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（Gray 1997）。此参数化的曲率为

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用角度 表示，参数方程可以写成

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（Lockwood 1967，第 123 页），其中 是反古德曼函数。

一个以恒定速度 遍历曳物线的参数化由下式给出

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当曳物线绕其渐近线旋转时，会产生一个伪球面。这是一个具有恒定负曲率的曲面。对于曳物线，从其接触点到渐近线的切线长度是恒定的。曳物线及其渐近线之间的面积是有限的。