理发师问题是指将剖分等边三角形为正方形的问题的名称。Demaine等人。(2024) 总结了这个问题 history。杜德尼在他 1902 年 4 月 6 日的专栏中提出了这个问题，但没有明确表明是否已知解决方案。在他专栏的下一期（1902 年 4 月 20 日），杜德尼给出了一个五片解法，同时指出曼彻斯特的 C. W. McElroy 找到了一个四片解法。
在接下来的专栏（1902 年 5 月 4 日）中，杜德尼展示了上面图示的四片解法，但没有明确指出这种剖分是杜德尼还是 McElroy 的成果（Frederickson 1997, Frederickson 2002, Demaine等人。2024）。这个谜题和解决方案后来以“理发师谜题”的名称出现在杜德尼 (1908) 的著作中。
如上图所示标记剖分（Amplify Education）。然后三角形 
的顶点对应于正方形中的一个点 
。另一方面，三角形中的点 
和 
各自分叉成两个独立的点，分别对应于正方形的不同顶点。在图中，
且 
，（因此 
和 
分别平分 
和 
），
，且 
。此外，由于点 
和 
成为正方形的顶点，因此角 
、
、
和 
都是直角。
设正方形具有单位边长和面积，则有四个不同的边长，按从小到大排列为
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(1)
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(2)
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(3)
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(4)
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这些边长分别对应于一条直角边长为 
，斜边长为 
的等腰直角三角形；一条边长为 
和 
的菱形；以及两个镜像四边形，它们的边长为 
、
、
、
，包含一个直角。这种四边形可以称为“理发师四边形”。
令人惊奇的是，这种剖分不仅允许将等边三角形仅用三刀剖分为正方形，而且所得的四个部分可以铰接，以便它们可以折叠成等边三角形或正方形（Gardner 1961, p. 34; Stewart 1987, p. 169; Wells 1991, pp. 61-62）。
Demaine等人。(2024) 证明了等边三角形和正方形没有少于三个多边形块的公共剖分，从而确定了杜德尼的剖分是最优的。
