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向量范数

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给定一个 n-维向量

x=[x_1; x_2; |; x_n],
(1)

一个通用的向量范数 |x|，有时用双竖线表示为 ||x||，是一个非负范数，定义如下：

1. |x|>0 当 x!=0 时，并且 |x|=0 当且仅当 x=0。

2. |kx|=|k||x| 对于任何标量 k。

3. |x+y|<=|x|+|y|.

本文中，单竖线用于表示向量范数、绝对值或复数模量，而双竖线保留用于表示矩阵范数。

向量范数 |x|_p 对于 p=1, 2, ... 定义为

|x|_p=(sum_(i)|x_i|^p)^(1/p).
(2)

向量 v 的 p-范数实现为范数[v, p]，其中 2-范数由以下方式返回范数[v]。

特殊情况 |x|_infty 定义为

|x|_infty=max_(i)|x_i|.
(3)

最常见的向量范数（通常简称为向量的“范数”，有时也称为向量的大小）是 L2 范数，由下式给出

|x|_2=|x|=sqrt(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2).
(4)

下表总结了这种和其他类型的向量范数，以及示例向量 v=(1,2,3) 的范数值。

名称符号值近似值
L^1-范数|x|_166.000
L^2-范数|x|_2sqrt(14)3.742
L^3-范数|x|_36^(2/3)3.302
L^4-范数|x|_42^(1/4)sqrt(7)3.146
L^infty-无穷范数|x|_infty33.000

另请参阅

兼容, 距离, 欧几里得度量, L1 范数, L2 范数, L-无穷范数, 矩阵范数, 自然范数, 范数, 向量大小

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参考文献

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分表、级数表和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. 1114, 2000.Horn, R. A. 和 Johnson, C. R. "向量和矩阵的范数。" Ch. 5 in 矩阵分析。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中引用

向量范数

如此引用

韦斯坦因，埃里克·W. "向量范数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/VectorNorm.html

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